অন্তরীকরণ

গানিতিক সমস্যা ও সমাধান :

  • Type – 1 : Simple অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

d/dx (sink) = ?

= 2sink cosk

বি:দ্র: dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে ।

 

উদাহরণ- ২ :

d/dx (log5x) = 1/k log­5c            [সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করে]

 

উদাহরণ- ৩ :

y = tan-1 {tan(2x2+3)} হলে, dy/dx = ?

আমরা জানি, tan-1 = θ; tan-1 ও tan কাটাকাটি হয় ।

একইভাবে, sinθ, cosθ, secθ, cosecθ, catθ এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ।

সুতরাং বাকি থাকছে, 2x2+3

∴ d/dx(2x2+3) = 4x                  [ans.]

 

উদাহরণ- ৪ :

y = √sin2k হলে, dy/dx = ?

dy/dx = (d/dx) (sin2x)

            =  . cos2k . 2

            =

এক্ষেত্রেও dy/dx = dy/dx . du/dv . dv/dx এই সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে ।

 

  • Type – 2 : সংযোজিত ফাংশনের অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

y = ln(cosx) হলে, dy/dx = ?

∴ dy/dx = d/dx (In(cosx)) = (1/cosx).-sinx.1 = -(sinx/cosx) = -tanx

 

উদাহরণ- ২ :

y = sinex হলে, dy/dx = ?

dy/dx = d/dx(sinex) = cosex . (d/dx) ex

                                       = ex . cosecx              [ans.]

 

উদাহরণ- ৩ :

(2-3x)1/3 হলে, dy/dx = ?

dy/dx = d/dx (2-3x)1/3

            = 2/3 . (2-3xx)2/3-1 . 3

            = 2(2-3x)-1/3                                         [ans.]

 

  • Type – 3 : দুটি ফাংশনের গুণফল থাকলে :

এক্ষেত্রে (d/dx)(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx) এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় ।

উদহারণ- ১ :

d/dx (exnm) = ex(d/dx) sinx + sinx(d/dx) ex

                        = excosx + ex sinx

 

উদাহরণ- ২ :

d/dx (sinx cosx) = sinx(d/dx) cosx + cosx (d/du) sinx

                                    = sinx.–sinx + cosx.cosx

                                    = -sin2x + cos2x

                                    = cos2x-sin2x

                                    = cos2x                         [ans.]

 

উদাহরণ- ৩ :

(d/du){e-x(5x2+7)}

= e-x (d/dx)(5x2+7) + (5x2+7)(d/dx) e-x

= e-x . 0

= 0                               [ans.]

 

উদাহরণ- ৪ :

(d/dx)(2x2+9x)(3x3-4x2)

⇒ (2x2+9x)(d/dx)(3x3-4x2)+ (3x3-4x2)(d/dx)(2x2+9x)

⇒ (2x2+9x)(9x2-8x) + (3x3-4x2)(4x+9)                        [ans.]

 

  • Type – 4 : ফাংশনের Power ফাংশন থাকলে :

এক্ষেত্রে প্রদত্ত ফাংশনটিকে ৬ ধরে নিয়ে পরবর্তীতে লগারিদম নিতে হয় । তারপর স্বাভাবিক অন্তরীকরণ করলেই চলবে ।

উদারহণ- ১ : xx এর অন্তরীকরণ কর ।

ধরি, y = xx

            ⇒ Iny = Inxx = xInx

            ⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx)(xInx )

            ⇒ (1/y)(dy/dx) = x. (1/x) + Inx.1         [(d/du)(uv) এই সূত্র প্রয়োগ করে]

            ⇒ (1/y)(dy/dx) = 1 + Inx

            ⇒ dy/dx = y (1+ Inx) = xx (1+Inx)                   [ans.]

 

উদাহরণ- ২ : xxInx এর অন্তরক সহগ :

ধরি, y = xxInx

⇒ Iny = In (xx.Inx) = Inxx + In(Inx)

⇒ (d/dx)(Iny) = (d/dx){Inxx+In(Inx)}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/du) xInx + (d/du){In(Inx)}

                         = x.(1/x) + Inx.1 + (1/Inx).(1/x)

                         = 1 + Inx + (1/xInx)

⇒ (dy/dx) = y{1+Inx+(1/xInx)}

                   = xxInx{1+Inx+(1/xInx)}                          [ans.]

 

উদাহরণ- ৩ :  এর অন্তরক সহগ :

ধরি, y =

⇒ Iny = In

⇒ (d/du) Iny = (d/dx){In}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (d/dx){(x3+x)In3}

⇒ (1/y)(dy/dx) = (x3+3) (d/dx) In3 + In3. (d/dx) (x3+3)

⇒ (1/y)(dy/dx) = (x3+3).0 + In3.3x2

⇒ (1/y)(dy/dx) = 3x2 In3

⇒ dy/dx = y.3x2In3

⇒ dy/dx =  . 3x2In3                     [ans.]

 

  • Type – 5 : implicit ফাংশনের অন্তরীকরণ :

উদাহরণ- ১ :

x2+y2 = 1

⇒ (d/dx) x2 + (d/dx) y2 = (d/dx) . 1

⇒ 2x + (d/dy) y2 (dy/dx) = 0

⇒ 2x + 2y. (dy/dx) = 0

∴dy/dx = - x/y                          [ans.]

 

উদাহরণ- ২ :

x3+y3 = 3xy হলে, dy/dx = ?

(d/dx)(x3+y3) = 3xy

⇒ 3x2 + (d/dx)y3 = 3                            [x.(dy/dx) + y.1]

⇒ 3x2+3y2(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y

⇒ (3y2-3x)(dy/dx) = 3x(dy/dx) + y

⇒ (3y2-3x)(dy/dx) = y-3x2

⇒ (dy/dx) = (y-3x2)(3y2-3x)                [ans.]

 

উদাহরণ- ৩ :

x+xy+y2 = 1 হলে, dy/dx = ?

⇒ (d/du)(x+xy+y2) = (d/du).1

⇒ x + x.(dy/dx)+y.1+2y(dy/dx) = 0

⇒ x+x(dy/dx)+y+2y(dy/dx) = 0

⇒ (x+2y)(dy/dx) = -(x+y)

⇒ (dy/dx) = - (x+y)/(x+2y)                              [ans.]

 

উদাহরণ- ৪ :

y = cos(2k+x) হলে, dy/dx = ?

⇒ dy/dx = (d/dx){cos(2x-2y)}

             = -sin(2x+2y).(d/dx)(2x+2y)

             = -sin(2x+3).2+2(dy/dx)

∴ (dy/dx) = 2sin(2x+3)                                    [ans.]

 

  • Type – 6 : পরামিতিক সমীকরণের অন্তরীকরণ :

যদি x এবং y এর মধ্যবর্তী সম্পর্ককে সোজাসুজি কোন সমীকরণের আকারে ব্যক্ত না করে তৃতীয় কোন চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তাহলে x ও y এর সমীকরণ দুটিকে একত্রে পরামিতিক সমীকরণ বলে এবং তৃতীয় চলককে parameter বা পরামিতি বলে ।

এক্ষেত্রে প্রথমে x ও y ফাংশনকে parameter এর সাহায্যে অন্তরীকরণ করতে হয় এবং পরে dy/dx বের করতে হয় ।

উদাহরণ- ১ :

x = cosθ এবং y = sinθ হলে, dy/dx = ?

dx/dθ = -sinθ এবং dy/dθ = cosθ

∴ dy/dx = -sinθ/cosθ = -tanθ                            [ans.]

 

উদাহরণ- ২ :

x = 1+t2

y = 1-t3

dx/dt = 1`+2t

dy/dt = 1-2t2

dy/dx = (dx/dt)/(dy/dt)

            = (1+2t)/(1-2t2)                         [ans.]

 

উদাহরণ- ৩ :

y = a sinθ

x = acosθ হলে, (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = ?

dy/dθ = a cosθ

dx/dθ = -asinθ

∴ dy/dx = (a cosθ)/(-asinθ)

            = -y/x

∴ (-1,1) বিন্দুতে dy/dx = - (-1/1) = 1       [ans.]

 

  • Type – 7 : ফাংশনের সাপেক্ষে ফাংশনের অন্তরক :

উদাহরণ- ১ :

Inx এর সাপেক্ষে sinx এর অন্তরক নির্ণয় কর ।

ধরি, u = Inx

    V = θ sinx

dv/du = (dv/du)/(du/dx)

            = cosx/(1/x)

            = x cosx                       [ans.]

 

উদাহরণ- ২ :

sinx এর সাপেক্ষে cos2x এর অন্তরীকরণ :

ধরি, u = sinx

    v = cos2x

dv/du = (dv/du)/(du/dx)

            = (d/dx) cos2x / (d/dx) sinx

            = (-sinx2,2x)/(cosx)

            = (-2x sinx2)/cosx                    [ans.]

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon