ত্রিভুজের গুণাবলী

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:

সাধারণত কোন ত্রিভুজ ABC এর ∠BAC, ∠ABC এবং ∠ACB কোণগুলোকে যথাক্রমে A, B, C দ্বারা এবং A, B, C কোণগুলোর বিপরীত বাহুগুলোকে যথাক্রমে a, b, c দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

1. কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য তাদের বিপরীত কোণের sine এর সমানুপাতিক। অর্থাৎ,

 [R হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]

;  cos B =   ;  cos C =  

3. a = b cos C + c cos B ; b = c cos A + a cos C ; c = a cos B + b cos A

4. s = ত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক =

 

 

 

 

9. Δ = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =  × যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের গুণফল × ঐ দুই বাহুর অন্তর্গত কোণেরsine

উদাহরণ 1. যদি কোনো ত্রিভুজে a4 + b4 + c4 = 2c2 (a2 + b2) হয়, তবে C = ?

সমাধান:

এখানে,

a4 + b4 + c4 = 2c2 (a2 + b2)

⇒ a4 + b4 + c4 = 2c2a2 + 2b2c2

⇒ a4 + b4 + c4 ‒ 2c2a2 ‒ 2b2c2 = 0

⇒ (a2)2 + (b2)2 + (‒ c2)2 + 2a2b2 + 2b2(‒ c2) + 2(‒ c2)2a2 = 2a2b2

⇒ (a2 + b2 ‒ c2)2 = 2a2b2            [(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca]

⇒ a2 + b2 ‒ c2 = ± ab

⇒ cos C = ±  = ± cos 45°

হয়,

cos C = cos 45°

∴ C = 45°

অথবা,

cos C = ‒ cos 45°

⇒ cos C = cos (180° ‒ 45°)

⇒ cos C = cos 135°

∴ C = 135°

উদাহরণ 2. ΔABC ত্রিভুজে cos A = sin B ‒ cos C হলে, C = ?

সমাধান:

এখানে,

cos A = sin B ‒ cos C

⇒ cos A + cos C = sin B

⇒ cos A + cos {π ‒ (A + B)} = sin B       [A + B + C = π]

⇒ cos A ‒ cos (A + B) = sin B

⇒ 2 sin  sin  = 2 sin  cos            [cos C ‒ cos D = 2 sin  sin  ; sin θ = 2 sin  cos ]

⇒ sin  = cos

⇒ sin  = sin

⇒ A +  = 90° ‒

⇒ A + B = 90°

∴ C = 180° ‒ (A + B) = 90°

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন:

1. ABC ত্রিভুজে cos A + cos C = sin B হলে, ∠C সমান

[DU 2004-2005]

(A) 30°                                 (B) 60°                                 (C) 90°                                 (D) 45°

সমাধান:

1.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (C)

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon