বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)

বহুপদী বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)

 

সাধারণ ধারণা :

*      বহুপদী তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) এতে এক  বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে এক  বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে

*      এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ধ্রুবক থাকে যেমন :

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+anএকটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক a0, a1, a2, ...... an R হল ধ্রুবক যেখানে a0 ≠ 0 n হল x এর সর্বাধিক ঘাত লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না a0কে মুখ্য সহগ বলা হয় এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয়

*      বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+an = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে

x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয়

n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয়

*      বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) :

                                i.            বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে

                              ii.            n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে

                            iii.            ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a)

                            iv.            উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে

                              v.            অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib সমীকরণের মূল হবে এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b সমীকরণের একটি মূল হবে

*      বহুপদী মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p0xn+p1xn-1+p2xn-2+ ...... +pnএর মূল হয় তবে,

                                i.             = a+b+c+ ...... + k = - p1/p0

                              ii.             = ab+bc+cd+ ...... = P2/P0

                            iii.            a×b×c×d×......×k =  (-1)n (pn/p0)

*      দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

ax2+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা

উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে-

 এবং  

*      দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে,

                                i.             = α+β = -b/a = -  

                              ii.            αβ = c/a =

*      দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax2+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, x =   এখানে, (b2-4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় এজন্য (b2-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয়

                                i.            যদি b2-4ac=0 b2=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ সমান হবে

                              ii.            b2-4ac>0 b2>4ac হলে মূলদ্বয় বাস্তব অসমান হবে

                            iii.            b2-4ac<0 b2<4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে

                            iv.            (b2-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ অসমান হবে

                              v.            c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে

                            vi.            b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a c একই  চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে

*      দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a1x2+b1x+c1=0 a2x2+b2x+c2=0  সমীকরণদ্বয়ের-

                                i.            একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a1b2-a2b1)(b1c2-b2c1) = (c1a2-c2a1)2হয়

                              ii.            উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a1/a2 = b1/b2 = c1/c2হয়

*      দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় সমীকরণটি হবে-

x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0

অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α β হলে সমীকরণটি হবে-

x2 - (α+β)x + αβ = 0

*      ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-

ax3+bx2+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা

*      ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax3+bx2+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-

                                i.             = α+β+γ = -b/a

                              ii.             = αβ+βγ+γα = c/a

                            iii.            αβγ = -d/a

*      Important formulae :

                                i.            (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (a-b)2+4ab

                              ii.            (a-b)2= a2-2ab+b2 = (a+b)2-4ab

                            iii.            4ab = (a+b)2-(a-b)2

                            iv.            a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab

                              v.            a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) = (a+b)(a2-ab+b2)

                            vi.            a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b) = (a-b)(a2+ab+b2)

                          vii.            a4+b4 = [(a+b)2-2ab]2-2(ab)2

                        viii.            a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

                            ix.            (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 = 2(a2+b2+c2+ab+bc+ca)

                              x.            (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

                            xi.            a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

   = ½ (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

   = (a+b+c){(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)}

 

গাণিতিক সমস্যা সমাধান :

1.      x3-px2+qx-r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ হলে-

a.      

b.     

c.      

d.       এর মান নির্ণয় কর

সমাধান :

a.       এখানে,  = α+β+γ = -(-p/1) = p          [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

b.       = αβ+βγ+γα = q/1 = q            [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

c.        = α222 = (α+β+γ) – 2(αβ+βγ+γα)           [See Important formulae viii]

 = p2-2q

d.       = α333 = (α+β+γ){α222-3(αβ+βγ+γα)}+3 αβγ    [See Important formulae xi]

                           = p(p2-2q-3q)+{-(-r/1)}                 [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল সহগ-সম্পর্ক]

                           = p3-5pq+3r

2.      x3+qx+r=0 এর মূলগুলো α,β,γ হলে  এর মান নির্ণয় কর

সমাধান :

এখানে, x3+qx+r = 0  x3+0.x2+qx+r = 0

α+β+γ = 0...(i)           [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

(i) α+β = -γ; β+γ = - α; α+γ = -β

 =  = -γ -α-β = - (α+β+γ) = 0

3.      k এর মান কত হলে, (3k+1)x2+(11+k)x+9 = 0 সমীকরণের মূলগুলো-

a.       সমান

b.      বাস্তব অসমান

c.       জটিল হবে?

সমাধান :

এখানে, নিশ্চায়ক, D = (11+k)2-4(3k+1)9              [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি]

                            = k2+22k+121-108k-86

                            = k2-86k+85

                            = k2-k-85k+85

                            = (k-1)(k-85)

a.       মূলগুলো সমান হবে যদি D=0 হয়   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি i]

(k-1)(k-85) = 0

k=1 অথবা 85 হয়

b.      মূলগুলো বাস্তব অসমান হবে যদি D>0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ii]

(k-1)(k-85) > 0

k<1 অথবা 85>0 হয়         [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

c.       মূলগুলো জটিল হবে যদি D<0 হয়   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি iii]

(k-1)(k-85) < 0

k<1<85 হয়         [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]

4.      x2-2x+3 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α β হলে নিচের মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণসমূহ নির্ণয় কর

                                i.            -α, -β

                              ii.            1/α, 1/ β

                            iii.            -1/ α, -1/ β

                            iv.            α+β, αβ

                              v.            4α, 4β

                            vi.            α -1, β-1

                          vii.            α2,  β2

                        viii.            1/ α2, 1/β2

                            ix.            α+ α-1,  β+β-1

                              x.            α+β-1, β+ α-1

                            xi.           

                          xii.            1/α3, 1/β3

সমাধান :

এখানে, α+β = 2                   [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

              αβ = 3                  [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

                                            i.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -α-β = -(α+β)

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (-α)(-β) = αβ

মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(-α-β)x+(-α)(-β) = 0                   [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+(α+β)x+αβ = 0

x2+2x+3 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণে মূলদ্বয় α β হলে মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-bx+c=0

                                          ii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α + 1/β =  = 2/3

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α × 1/β = 1/(αβ) = 1/3

1/α 1/β  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α+1/β)x+(1/α)(1/β) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-2/3x+1/3 = 0

3x2-2x+1 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে 1/α 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2+bx+a = 0

                                        iii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1/α-1/β = - = -2/3

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1/α)×(-1/β) = 1/(αβ) = 1/3

-1/α -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(-1/α-1/β)x+(-1/α)(-1/β) = 0       [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+(2/3)x+(1/3) = 0

3x2+2x+1 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে -1/α -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2-bx+a = 0

                                        iv.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β+αβ = 5

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β)(αβ) = 6

α+β αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0             [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-5x+6 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে α+β αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+a(b-c)x-bc = 0

                                          v.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 4α+4β = 4(α+β) = 8

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (4α)(4β) = 16αβ = 48

মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(4α+4β)x+(4α)(4β) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-8x+48 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলেমূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+nbx+n2c = 0

                                        vi.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α-1+β-1 = α+β-2 = 0

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (α-1)(β-1) = αβ-α-β+1

                                                                           = αβ-(α+β)+1

                           = 2

(α-1) (β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α-1+β-1)x+(α-1)(β-1) = 0         [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+2 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে (α-n) (β-n) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-(b-2an)x+c+bn+n2 = 0

                                      vii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α22 = (α+β)2-2αβ = 4-6 = -2

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = α2β2 = (αβ)2 = 9

α2 β2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α22)x+(α2)(β2) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+2x+9 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে α2 β2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, a2x2+(b2-2ca)x+c2 = 0

                                    viii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α2 + 1/β2

                                                      =

                                                  =     [See Important formulae iv]

                                                  = (4-6)/9

                                                       = -2/9

                                                               মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α2 . 1/β2 = 1/(αβ)2 = 1/9

1/α2 1/β2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α2+1/β2)x+(1/α2)(1/β2)=0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+(2/9)x+1/9 = 0

9x2+2x+1 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে 1/α2 1/β2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c2x2-(b2-2ac)x+a2 = 0

                                        ix.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+α-1+β+β-1

                                                      = α+β+1/α+1/β

                                                      = (α+β)+

                                                      = 2+2/3

                                                      = 8/3

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+α-1)(β+β-1)

                                                      = αβ+α-1β+β-1α+α-1β-1

                                                                                     = αβ+β/α+α/β+(1/α)(1/β)

                                                      = αβ+  +

                                                      = αβ+  +

                                                      = 3+1/3+(4-6)/3

                                                      = 8/3

(α+α-1) (β+β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+α-1+β+β-1)x+(α+α-1)(β+β-1) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-8/3x+8/3 = 0

3x2-8x+8 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে α+α-1 β+β-1মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2+b(a+c)x+a2+b2+c2-2ac = 0

                                          x.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β-1+1/α+1/β

                                                      = (α+β)+

                                                      = 2+2/3

                                                      = 8/3

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β-1)(β+α-1)

                                                      = αβ+1+1+α-1β-1

                                                                                     = αβ+2+ 1/(αβ)

                                                      = 3+2+1/3

                                                      = 16/3

(α+β-1) (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(α+β-1+β+α-1)x+(α+β-1)(β+α-1) = 0          [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-(8/3)x+16/3 = 0

3x2-8x+16 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে (α+β-1) (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2+b(a+c)x+(a+c)2 = 0

                                        xi.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল =

                                               =  

                                            =  

                                            =

                                                = 0

                        মূলদ্বয়ের গুণফল =

                                                =

                                                = 1/(3-2+1)

                                                = 1/2

1/(α-1) 1/(β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(+ )x+()( ) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2+1/2 = 0

2x2+1= 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে    মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, (a+b+c)x2+(b+2a)x+a = 0

                                      xii.            নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α3 + 1/β3

                                                                                     =

                                                      =      [See important formula v]

                                                      = (23-3.3.2)/33

                                                                                     = 10/27

                              মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α3 . 1/β3

                                                                                     = 1/(αβ)3

                                                                                     = 1/27

1/α3 1/β3মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,

x2-(1/α3 + 1/β3 )x+(1/α3)(1/β3) = 0  [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-(10/27)x+1/27 = 0

27x2-10x+1 = 0

Ø  Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α β হলে 1/α3 1/β3  মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c3x+b(b2-3ac)x+a3 = 0

5.       −1 কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি কত? সমীকরণটি নির্ণয় কর

সমাধান :

এখানে, একটি মূল  −1 = -1+i           [i = ]

অপর মূল = -1-i       [See অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য]

 

নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1+ i-1- i = -2

                                 মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1+ i)(-1- i)

                                                         = (-1)2-(i)2            [(a+b)(a-b) = a2-b2]

                                                         = 1-i25

                                                         = 1-i2.5

                                                         = 1+5             [i2 = -1]

                                                         = 6

নির্ণেয় সমীকরণ, x2-(-1+ i)(-1- i)x+(-1+ i)(-1- i) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

                        x2+2x+6 = 0

Ø  Short-cut : কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল a+ib হলে সমীকরণটি হবে, x2-2ax+(a2+b2)=0

6.      3x2-2x+k=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে k এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α β (যেখানে α>β)

দেওয়া আছে, α-β=1 এখানে, α+β = -(-2/3) = 2/3     [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

                                 এবং αβ = k/3       [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

এখন, 4αβ = (α+β)2-(α-β)2     [See Important formulae iii]

4αβ = (2/3)2-(1)2

4.(k/3) = 4/9-1

(4/3)k = -5/9

k = -5/9 × 3/4  = -5/12

Ø  Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে, b2-a2 = 4ca

এক্ষেত্রে, (-2)2-32 = 4.k.3

            12k = -5

            k = -5/12

7.      px2+qx+q=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত mn হলে,  এর মান কত?

সমাধান :

ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α β

α+β = -q/p        [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]

αβ = q/p          [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]

দেওয়া আছে, α/β = m/n

তাহলে,

           

                         [ ]

             +  

             +      [   &  2 = x ]

             +  

             +         [∵ x= ]

            -  +   =  0

8.      ax2+2x+1 = 0 এবং x2+2x+a = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে a এর মান নির্ণয় কর (a≠1)

সমাধান :

ধরি, সাধারণ মূল p

p উভয় সমীকরণের সাধারণ মূল p দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে

অর্থাৎ, ap2+2p+1=0 …(i)

এবং, p2+2p+a=0 …(ii)

(i) (ii) থেকে বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে পাই,

 =  =    …(iii)        [a1x2+b1x+c1 = 0 a2x2+b2x+c2=0 হলে বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুসারে,

 

                                                      ]

 

(iii) =  

        ⇒ p2 = 1

       p = ±1

আবার, (iii)  

                    

                  

                   - 

P=1 হলে (iv) - = 1

                          -a-1 = 2

                          a=1

P = -1 হলে (iv) - = -1

                                    -a-1 = -2

                                    a = 1

বিকল্প পদ্ধতি :

ধরি, সাধারণ মূল p

ap2+2p+1 = 0 …(i)    এবং, p2+2p+a = 0 …(ii)

(i) – (ii) ap2-p2+1-a = 0

            p2(a-1)-(a-1) = 0

            (p2-1)(a-1) = 0

কিন্তু a≠1 a-1 ≠ 0

p2-1=0          p = ±1

p=1 হলে (i) a(1)2+2(1)+1=0  a = -3

p=-1 হলে (i) a(-1)2+2(-1)+1=0  a = 1

 

9.      x এর কোন বাস্তব মানের জন্য-

a.       x2-6x+45 এর মান ন্যূনতম হবে? ন্যূনতম মান নির্ণয় কর

b.      19-x2+6x এর মান বৃহত্তম হবে? বৃহত্তম মান নির্ণয় কর

সমাধান :

a.       f(x) = x2-6x+45 এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যদি a>0 হয়

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যেখানে, ন্যূনতম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(-b/2a)=3 এর জন্য ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে

ন্যূনতম মান = f(-b/2a) = f(3) = (3)2-6(3)+45 = 36

b.      f(x) = 19-x2+6x এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যদি a<0 হয়

x = -b/2a এর জন্য f(x) এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যেখানে বৃহত্তম মান = f(-b/2a)

এক্ষেত্রে, x=-(b/-2a)=3 এর জন্য বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে

বৃহত্তম মান = f(-b/2a) = f(3) = 19-(3)2+6(3) = 28 →

 

*      Calculator techniques : Calculator-এর সাহায্যে দ্বিঘাত ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলোর মান নির্ণয় করা যায় প্রাপ্ত মান প্রশ্নের শর্তানুসারে পরিবর্তিত করে সহজেই নতুন দ্বিঘাত/ ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায়

ax2+bx+c=0 আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

এরপর a,b,c এর মান input করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন

ax3+bx2+cx+d আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-

Example 4 এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পূর্বোক্ত প্রক্রিয়ায় 2nd degree equation mode প্রবেশ করে চাপতে হবে-

 

                                                                                                                    

অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব মান 1+i 1-i        চেপে বাস্তব কাল্পনিক অংশ দেখা যায় 

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান :

1. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?                      [DU : 1999-2000]

a. 3x2+5x-1=0

b. 3x2-5x+1=0

c. 5x2+x-3=0

d. 5x2-x-3=0

 

2. x2-4x+4=0 এর বীজদ্বয় α এবং β হলে α33এর মান কত?           [DU : 2000-01]

a. 24

b. 32

c. 16

d. 8

 

3. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় x1, x2হলে 1/x1, 1/x2মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কি?                       [DU : 2001-02]

a. 3x2-5x+1=0

b. 5x2+x-3=0

c. 3x2+5x-1=0

d. 5x2-x-3=0

 

4. p এর কিরূপ মানের জন্য x2+px+1 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল হবে?                   [DU : 2002-03]

a. -2≤p≤2

b. -4<p≤4

c. -2<p<2

d. -4≤p<4

 

5. 6x2-5x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-                    [DU : 2004-05]

a. x2-5x+6=0

b. 3x2-2x+5=0

c. x2-6x+5=0

d. 5x2+2x-6=0

 

6. k এর যে মানের জন্য সমীকরণ (k+1)x2+4(k-2)x+2k = 0 এর মূলদ্বয়ের মান সমান হবে তা-    [DU : 2004-05]

a. 4

b. 8

c. 2

d. 3

 

7. x2-2x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে α+β, αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে-                       [DU : 2005-06]

a. x2-5x+6 = 0

b. 3x2-2x+1 = 0

c. x2-3x+2 = 0

d. 2x2-3x+1 = 0

 

8. x2-3x+5 এর ন্যূনতম মান-        [DU : 2006-07]

a. 3

b. 5

c. 15/4

d. 11/4

 

9. x2-5x-1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হতে 2 কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল-                      [DU : 2007-08]

a. x2+x+7 = 0

b. x2-x-7 = 0

c. x2+x-7 = 0

d. x2-x-7 = 0

 

10. 5+3x-x2এর সর্বোচ্চ মান-      [DU : 2008-09]

a. 3

b. 11/4

c. 29/4

d. 27/4

 

11. x2-7x+12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হলে, α+β এবং αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-  [DU : 2009-10]

a. x2-19x+84 = 0

b. x2+14x+144 = 0

c. x2-14x+144 = 0

d. x2+19x-84 = 0

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :

1. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0             [see example 4 (ii)]

                        3x2+5x-1 = 0

                        ans. a

 

2. এখানে, α+β=4; αβ=4 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

α33 = (α+β)3-3αβ(α+β)

             = 16

ans. c

 

3. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0             [see example 4 (ii)]

                          3x2+5x-1 = 0

                        ans. c

 

4. মূলদ্বয় জটিল হবে যদি p2- 4 < 0

                                    p2 < 4                       [see example 3 (c)]

                                    -2<p<2 হয়

                                    ans. c

 

5. নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6=0

ans.a

6. মূলদ্বয় সমান হবে যদি {4(k-2)}2-4.(k+1).2k=0 হয়         [See example 3(a)]

                                    16(k-2)2 = 8k(k+1)

                                    2(k2-4k+4) = k2+k

                                    2k2-8k+8 = k2+k

                                    k2-9k+8 = 0

                                    k = 1 or, 8    [use calculator/manually factorize through middle term process]

ans.b

7. α+β = 2; αβ = 3; α+β+αβ = 5    &, (α+β)(αβ) = 6    [see example 4 (iv)]

নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6 = 0

ans.a

8. –b/2a = 3/2

f(3/2) = (3/2)2-3(3/2)+5                    [see example 9]

            = 11/4

ans.d

10.  α+β = 5; αβ = -1           [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

(α-2)(β-2) = αβ-2(α+β)+4 = -7

α-2+β-2 = 1

x2-(α-2+β-2)x+(α-2)(β-2) = 0       [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]

x2-x-7 = 0

ans.d

10. –b/2a = 3/2

f(3/2) = 5+3(3/2)-(3/2)2 = 29/4          [see example 9]

ans.c

11.  α+β = 7; αβ = 12            [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]

α+β+αβ = 19; (α+β)(αβ) = 84

x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0             [see example 4 (iv)]

x2-19x+84 = 0

ans.a

 

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon