বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন

 

 কিছু মৌলিক সম্পর্ক: ধরি, sin θ = x ∴ θ = sin‒1 x = sin‒1 sin θ  [∵ x = sin θ]

আবার, sin θ = x ∴ sin sin‒1 x = x [∵ θ = sin‒1 x]

অনুরূপভাবে, θ = cos‒1 cos θ = tan‒1 tan θ = … … …

লক্ষণীয়, sin sin‒1 x ≠ sin‒1 sin θsin sin‒1 x একটি সংখ্যা, অপরদিকে sin‒1 sin θ একটি অনন্ত সেট যার একটি উপাদান হল θ

আবার, cosec θ =  =  ∴ θ = cosec‒1

অর্থাৎ, sin‒1 x = cosec‒1 এবং cosec‒1 x = sin‒1

অনুরূপভাবে,         cos‒1 x = sec‒1 এবং sec‒1 x = cos‒1

                                tan‒1 x = cot‒1 এবং cot‒1 x = tan‒1

 

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের রূপান্তর:

ধরি, θ = sin‒1 x ⇒ x = sin θ

   

   

 

 

 

অর্থাৎ, sin θ = x হলে,

θ = sin‒1 x = cos‒1 = tan‒1 = cot‒1 = sec‒1 = cosec‒1

অনুরূপ প্রক্রিয়ায় যেকোনো বিপরীত ফাংশনকে অন্যান্য বিপরীত ফাংশনে রূপান্তরিত করা যায়। এছাড়াও জ্যামিতিক প্রক্রিয়ায় বিপরীত ফাংশনের রূপান্তর করা যায়:

ধরা যাক, θ = cos‒1 x ⇒ x = cos θ

এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B এক সমকোণ এবং ∠ACB = θ                                               

∵ cos θ = x =  =

∴ BC = x এবং AC = 1

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে, AB2 + BC2 = AC2

 

 

 

 

 

 

অর্থাৎ, cos θ = x হলে,

θ = cos‒1 x = sin‒1 = tan‒1 = cot‒1 = sec‒1 = cosec‒1

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:

1. sin‒1 x + cos‒1 x =

2. tan‒1 x + cot‒1 x =

3. cosec‒1 x + sec‒1 x =

4. tan‒1 x + tan‒1 y = tan‒1

5. tan‒1 x ‒ tan‒1 y = tan‒1

6. sin‒1 x + sin‒1 y = sin‒1 {x  + y }

7. sin‒1 x ‒ sin‒1 y = sin‒1 {x  ‒ y }

8. cos‒1 x + cos‒1 y = cos‒1 {xy ‒ }

9. cos‒1 x ‒ cos‒1 y = cos‒1 {xy + }

10. 2 sin‒1 x = sin‒1

11. 2 cos‒1 x = cos‒1 (2x2 ‒ 1)

12. 2 tan‒1 x = tan‒1 = sin‒1 = cos‒1

13. 3 sin‒1 x = sin‒1 (3x ‒ 4x3)

14. 3 cos‒1 x = cos‒1 (4x3 ‒ 3x)

15. 3 tan‒1 x = tan‒1

উদাহরণ 1. sin cot‒1 tan cos‒1 x = ?

সমাধান:

ধরি, θ = cos‒1 x তাহলে, x = cos θ

ভূমি = x

অতিভুজ = 1

লম্ব =                     [বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের রূপান্তর]

∴ θ = tan‒1

sin cot‒1 tan cos‒1 x

= sin cot‒1 tan θ                               [θ = cos‒1 x]

= sin cot‒1 tan tan‒1           [θ = tan‒1]

= sin cot‒1

আবার ধরি, θ = cot‒1 তাহলে,  = cot θ

ভূমি =

লম্ব = x

অতিভুজ = 1

∴ θ = sin‒1 x

sin cot‒1

= sin θ

= sin sin‒1 x

= x

উদাহরণ 2. tan‒1 + tan‒1 + tan‒1 = ?

সমাধান:

tan‒1 + tan‒1 + tan‒1

= tan‒1 + tan‒1                      [tan‒1 x + tan‒1 y = tan‒1]

= tan‒1 + tan‒1

= tan‒1

= tan‒1 1

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন:

1. tan‒1 1 + tan‒1 2 + tan‒1 3 এর মান

[DU 2006-2007]

(A) 0                                     (B)                                       (C) π                                     (D) 2π

2.  tan‒1 6 + tan‒1 এর মান

[DU 2007-2008]

(A)                                       (B)                                     (C)                                     (D)

3. cot  এর মান

[DU 2008-2009]

(A)                                     (B)                                     (C)                                   (D)

4. tan‒1 + tan‒1 + tan‒1 = ?

[DU 2010-2011]

(A) cot‒1                           (B) cos‒1 3                          (C) tan‒1                           (D) sin‒1 3

5. cos tan‒1 cot sin‒1 x সমান

[DU 2011-2012]

(A) x                                      (B)                               (C) ‒ x                                  (D) x ‒

সমাধান:

1.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

tan‒1 1 + tan‒1 2 + tan‒1 3 = 180 = π

∴ Answer: (C)

2.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

.  tan‒1 6 + tan‒1 = 135 =

∴ Answer: (C)

3.

[উদাহরণ 1 দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

sin‒1 = 30

∴ cot  = cot 30 = cot (90 ‒ 30) = tan 60 =

∴ Answer: (C)

4.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই,

tan‒1 + tan‒1 + tan‒1 = 18.434 = tan‒1

∴ Answer: (C)

5.

[উদাহরণ 1 দ্রষ্টব্য]

ধরি, θ = sin‒1 x তাহলে, x = sin θ

cos tan‒1 cot sin‒1 x

= cos tan‒1 cot cot‒1

= cos tan‒1

আবার ধরি, θ = tan‒1 তাহলে,  = tan θ

cos tan‒1

= cos cos‒1 x

= x

∴ Answer: (A)

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon