বৃত্ত (Circle)

বিষয়াবলী

সাধারণ ধারণা

১. যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু (0,0) এবং ব্যাসার্ধ r তার সমীকরণ।
x2+y2 = ry2
brittoo1.jpg
২. যে বৃত্তের কেন্দ্র (h,k) এবং ব্যাসার্ধ r তার সমীকরণ। (x-h)2+(y-k)2 = r2

equati22.gif

h=0 হলে কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তের সমীকরণ, x2+(y-k)2=k2
k=0 হলে কেন্দ্র x অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তের সমীকরণ, (x-h)2+y2=h2

 

৩. বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0
যেখানে, বৃত্তের কেন্দ্র ≡ (-g,-f) এবং ব্যাসার্ধ = √(g2+f2-c)
g = 0 হলে কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত
f = 0 হলে কেন্দ্র x অক্ষের উপর অবস্থিত
c = 0 হলে বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী

 

৪. কোন বৃত্ত x অক্ষকে ছেদ করলে x অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ = 2√(g2-c)
বৃ্ত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করলে g2=c

 

কোন বৃত্ত y অক্ষকে ছেদ করলে y অক্ষ থেকে কর্তিত অংশ = 2√(f2-c)
বৃত্তটি y অক্ষকে স্পর্শ করলে f2=c

 

৫. কোন বৃত্ত x অক্ষকে স্পর্শ করলে তার ব্যাসার্ধ হবে কেন্দ্রের কোটির মান এবং সমীকরণ হবে, (x-h)2+(y-k)2 = k2

 

৬. কোন বৃত্ত y অক্ষকে স্পর্শ করলে তার ব্যাসার্ধ হবে কেন্দ্রের ভুজের মান এবং সমীকরণ হবে, (x-h)2+(y-k)2 = h2

 

৭, (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ, (x-x1)(x-x­2)+(y-y1)(y-y2) = 0

 

৮. x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তের এককেন্দ্রিক অন্য কোন বৃত্তের সমীকরণ হবে, x2+y2+2gx+2fy+c1=0

 

৯. x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্ত এবং ax+by+c1 সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c1)=0

 

১০. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে,
তাদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফল = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

con1.GIF

এক্ষেত্রে সাধারণ স্পর্শক তিনটি।

১১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে,
তাদের ব্যাসার্ধদ্বয়ের অন্তরফল = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

con2.GIF
এক্ষেত্রে সাধারণ স্পর্শক একটি।

 

১২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করবে যদি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের থেকে ছোট হয়।
এক্ষেত্রে সাধারণ স্পর্শক দুইটি।

Com_Num_Gr_18.jpg

১৩. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ কোনটিই করবে না যদি কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ব্যাসার্ধদ্বয়ের যোগফলের চেয়ে বড় হয়।

p10674.jpg
এক্ষেত্রে সাধারণ স্পর্শক চারটি।

 

১৪. x2+y2+2gx+2fy+c=0 এবং x2+y2+2g1x+2f1y+c1=0 বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c+k(x2+y2+2g1x+2f1y+c1)=0

 

১৫. বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে কোন বৃত্তের ওপর দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

 

১৬. y=mx+c সরলরেখাটি x2+y2 = r2 বৃত্তকে স্পর্শ করবে যদি,
c = ±r√(1+m2) হয়

 

১৭. x2+y2=r2 বৃত্তের উপরিস্থিত (x1,y1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
xx1+yy1=r2

 

১৮. x2+y2+2gx+2fy+c = 0 বৃত্তের (x1,y1) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ,
xx1+yy1+g(x+x1)+f(y+y2)+c = 0

 

১৯. বহিঃস্থ কোন বিন্দু (x1,y1) থেকে x2+y2 = r2 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ, (x2+y2-r2)(x12+y12-r2)=(xx1+yy1-r2)2

 

২০. বহিঃস্থ বিন্দু (x1,y1) থেকে x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,
(x2+y2+2gx+2fy+c)(x12+y12+2gx1+2fy1+c) = {xx1+yy1+g(x+x1)+f(y+y1)+c}

 

২১. বহিঃস্থ বিন্দু (x1, y1) থেকে x2+y2=a2 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, = √(x2+y2-r2)
উক্ত বিন্দু থেকে x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, = √(x12+y12+2gx1+2fy1+c)

 

২২. x2+y2 = r2 বৃত্তের (x1,y1) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
x1y-y1x=0
বৃত্তের অভিলম্ব এর কেন্দ্রগামী।

 

২৩. x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তের (x1,y1) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ,
(x1+g)y-(y1+f)x+fx1-gy1=0

 

২৪. x2+y2+2g1x+2f1y+c1 = 0 এবং x2+y2+2g2x+2f2y+c2 = 0 বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জন্য এর সমীকরণ, (x2+y2+2g1x+2f1y+c1) – (x2+y2+2g2x+2f2y+c2)=0

 

গাণিতিক সমস্যার উদাহরণ ও সমাধান

 

১. 3x2+3y2-5x-6y+4=0 বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

এখানে,
3x2+3y+2-5x-6y+4=0
⇒ x2+y2-(5/3)x-2y+(4/3)=0
⇒ x2+y2+2(-5/3)x+2(-1)y+(4/3)=0      ...(i)

 

(i) কে x2+y2+2gx+2fy+c=0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ≡ (-g,-f) ≡ (5/6, 1) (Ans.)
এবং ব্যাসার্ধ = √(g2+f2-c) =√(13/36) =√13/6 (Ans.)

 

২. (2,1), (10,1) এবং (2,-5) বিন্দু ‍তিনটি দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0       ...(i)

∵ বৃত্তটি (2,1) বিন্দুগামী ∴ (i) ⇒ 22+12+2.g.2+2.f.1+c=0
                                         ⇒4g+2f+c=-5 ...(ii)

∵ বৃত্তটি (10,1) বিন্দুগামী ∴ (i) ⇒102+12+2.g.10+2.f.1+c=0
                                            ⇒20g+2f+c=-101     ...(iii)

∵ বৃত্তটি (10,1) বিন্দুগামী ∴ (i) ⇒22+(-5)2+2.g.2+2f(-5)+c=0
                                           ⇒4g-10f+c=-29        ...(iv)

∴ (ii), (iii) এবং (iv) ⇒g = -6; f=2; c=15 [use calculator to solve equation]
∴ (i)    ⇒ x2+y2+2(-6)x+2.2y+15=0
            ⇒x2+y2-12x+4y+15=0            (Ans.)

 

৩. (3,-10) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত (11,-16) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c = 0        ...(i)
কেন্দ্রের স্থানাংক≡(3,-10)
∴ g = -3; f=10
∴ (i) ⇒x2+y2-6x+20y+c = 0       ...(ii)
∵ বৃত্তটি (11, -16) বিন্দুগামী

∴(ii) ⇒112+(-16)-6(11)+20(-16)+c=0
         ⇒c=9

∴ (ii) ⇒x2+y2-6x+20y+9=0      (Ans.)

অথবা,
∵ বৃত্তের কেন্দ্র (3,-10) এবং বৃত্তটি (11,-16) বিন্দু দিয়ে যায়
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (3,-10) ও (11,-16) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= √{(3-11)2+(-10+26)2}         

[(x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x1-x2)2+(y1-y2)2 }]
= √100

∴(3,-10) কেন্দ্রবিশিষ্ট √100 ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ,
(x-3)2+(y+10)2 = 100 [(h,k) কেন্দ্রবিশিষ্ট r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ, (x-h)2+(y-k)2 = r2]

Shortcut : (x1,y1) কেন্দ্রবিশিষ্ট (x2,y2) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ।
(x-x1)2+(y-y1)2 = (x1-x2)+(y1-y2)2

 

৪. এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা প্রত্যেক অক্ষরেখাকে মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে 5 একক দূরত্বে স্পর্শ করে।

 

সমাধানঃ

 

এখানে, বৃত্তটি x অক্ষকে (5,0) এবং y অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
∴ কেন্দ্রের ভুজ = 5 ; কোটি = 5 ; স্থানাংক ≡ (5,5) এবং ব্যাসার্ধ = x অক্ষ থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব = y অক্ষ থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব = 5

∴ বৃত্তের সমীকরণ, (x-5)2+(y-5)2 = 25
⇒x2+y2-10x-10y+25 = 0
           

 

৫. একটি বৃত্ত y অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং (3,-4) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0       ...(i)

∵ বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় ∴c = 0
∵ বৃত্তটি অক্ষকে স্পর্শ করে ∴f2 = c = 0

∴ (i)⇒x2+y2+2gx=0     ...(ii)

∵ বৃত্তটি (3,-4) বিন্দুগামী ∴ (ii)⇒32+(-4)2+2g(3)=0
⇒ g = -(25/6)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ (ii)⇒x2+y2+2(-25/6)x = 0
⇒3x2+3y2-25x = 0

 

৬. এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা x অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং y অক্ষ থেকে 6 একক দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট জ্যা খণ্ডিত করে।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0        ...(i)

∵ বৃত্তটি x অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে ∴ কেন্দ্রের ভুজ = 4=-g এবং g2 = c
⇒c=16

∵ বৃত্তটি y অক্ষ থেকে 6 একক অংশ ছেদ করে, ∴ 2√(f2-c) = 6
⇒f2-c = 9
⇒f2 = 25
⇒f = ±5

∴ (i)⇒x2+y2+2(-4)x+2(±5)y+16=0
⇒x2+y2-8x±10y+16=0    (Ans.)

 

৭. একটি বৃত্ত (3,5) ও (6,4) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং এর কেন্দ্র (i) x+2y-10=0 রেখার উপর অবস্থিত (ii) x অক্ষের উপর অবস্থিত (iii) y অক্ষের উপর অবস্থিত। i বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0        ...(i)

∵বৃত্তটি (3,5) বিন্দুগামী ∴ (i)⇒(3)2+(5)2+2(3)g+2(5)f+c=0
⇒6g+10f+c=-34         ...(ii)

∵ বৃত্তটি (6,4) বিন্দুগামী ∴ (i)⇒(6)2+(4)2+2(6)g+2(4)f+c=0
⇒12g+8f+c=-52        ...(ii)

(i)
বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক ≡  (-g,-f)
কিন্তু কেন্দ্র x+2y-10=0 রেখার উপর অবস্থিত।

∴ -g+2(-f)-10=0
⇒g+2f=-10     ...(iv)

∴ (ii), (iii) ও (iv)⇒g=-4; f=-3; c=20

∴ (i)⇒x2+y2+2(-4)x+2(-3)y+20=0
⇒x2+y2-8x-6y+20=0           (Ans.)

(ii)
কেন্দ্র x অক্ষের উপর অবস্থিত হলে কেন্দ্রের কোটি =-f=0
∴ (ii)⇒6g+c=-34
এবং (iii)⇒12g+c=-32
∴ g=-3; c=-16
∴ (i)⇒x2+y2+2(-3)x+2(0)y-16=0
⇒x2+y2-6x-16=0                 (Ans.)

(iii)
কেন্দ্র y অক্ষের উপর অবস্থিত হলে কেন্দ্রের ভুজ =-g=0
∴(ii)⇒10f+c=-34 এবং (iii)⇒8f+c=-52
∴ f=9; c=-124
∴ (i)⇒x2+y2+2(0)x+2(9)y-124=0
⇒x2+y2+18y-124=0            (Ans.)

 

৮. x2+y2-3x+10y=15=0 বৃত্তের (4,-11) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

এখানে, x2+y2-3x+10y=15=0
⇒x2+y2+2(-3/2)x+2.5.y-15=0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x.4+y(-11)-(3/2)(x+4)+5(y-11)-15=0
⇒5x-12y-152=0         (Ans.)

 

৯. x2+y2=b(5x-12y) বৃত্তে অঙ্কিত ব্যাস মূলবিন্দু দিয়ে যায়। এই ব্যাসের সমীকরণ এবং মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

এখানে, x2+y2 = b(5x-12y)
⇒x2+y2-5bx+12by=0
⇒ x2+y2+2(-5b/2)x+2(6b)y=0

∴ কেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (-g,-f) = (5b/2, -6b)

∴ মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত ব্যাসের সমীকরণ হবে মূলবিন্দু (0,0) এবং কেন্দ্রের (5b/2, -6b) সংযোগকারী রেখা,
=             [(0,0) এবং (x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখার সমীকরণ y/y1=x/x1]

    ⇒y=-(12/5)x
⇒12x+5y=0            (Ans.)

∴ মূলবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক উক্ত ব্যাসের উপর লম্ব হবে।
∴ স্পর্শকের সমীকরণ, 5x-12y=0 [ax+by=0 রেখার লম্ব রেখার সমীকরণ, bx-ay=0]

 

১০. মূলবিন্দু থেকে (1,2) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 2 একক। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, x2+y2+2gx+2fy+c=0       ...(i)
কেন্দ্রের স্থানাংক ≡ (-g,-f)=(1,2)
∴ g = -1 ; f = -2
∴ (i) ⇒x2+y2-2x-4y+c=0          ...(ii)

মূলবিন্দু থেকে উক্ত বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য
⇒√{02+02-2(0)-4(0)+c}=2                  [(x1,y1) বিন্দু থেকে x2+y2+2gx+2hy+c=0 বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য =    (x2+√y2+2gx+2hy+c)]
⇒ c = 4

∴ (ii) ⇒ x2+y2-2x-4y+4=0        (Ans.)

 

১১. x2+y2-4x+6y-36=0 এবং x2+y2-5x+8y-43=0 বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় কর।

 

সমাধানঃ

 

নির্ণেয় সমীকরণ, x2+y2-4x+6y-36-(x2+y2-5x+8y-43)=0
⇒x2+y2-4x+6y-36-x2-y2+5x-8y+43=0
⇒x-2y+7=0                   (Ans.)

Shortcut : এক্ষেত্রে সাধারণ স্পর্শকের সমীকরণ, (2g1-2g2)x+(2f1-2f2)y+(c1-c2)=0

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon