সংযুক্ত ও যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

 

 n একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, (n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়:

(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুযায়ী θ সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতে রূপান্তরিত করা যায়। রূপান্তরিত অনুপাত ও তার চিহ্ন নির্ভর করে মূল অনুপাত ও n এর মানের উপর। রূপান্তরের নিয়মগুলো নিম্নে বর্ণনা করা হল:

n জোড়: অনুপাত অপরিবর্তিত থাকে।

                                                                                sin (n.90° ± θ) = sin θ

                                                                                cos (n.90° ± θ) = cos θ

                                                                                tan (n.90° ± θ) = tan θ

                                                                                cot (n.90° ± θ) = cot θ

                                                                                sec (n.90° ± θ) = sec θ

                                                                                cosec (n.90° ± θ) = cosec θ

n বিজোড়: অনুপাত সহ-অনুপাতে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,

                                                                                sin (n.90° ± θ) = cos θ

                                                                                cos (n.90° ± θ) = sin θ

                                                                                tan (n.90° ± θ) = cot θ

                                                                                cot (n.90° ± θ) = tan θ

                                                                                sec (n.90° ± θ) = cosec θ

                                                                                cosec (n.90° ± θ) = sec θ

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে: নতুন অনুপাত ধনাত্মক

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত sin বা cosec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত tan বা cot হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

(n.90° ± θ) এর অবস্থান ৪র্থ চতুর্ভাগে: মূল অনুপাত cos বা sec হলে নতুন অনুপাত ধনাত্মক, তা নাহলে নতুন অনুপাত ঋণাত্মক।

যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

                           1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

                                                                                2. sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B

                                                                                3. cos (A + B) = cos A cos B ‒ sin A sin B

                                                                                4. cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B

                                                                                5. tan (A + B) =

                                                                                6. tan (A ‒ B) =

                                                                                7. cot (A + B) =

                                                                                8. cot (A ‒ B) =

                                                                                9. sin (A + B) sin (A ‒ B) = sin2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ cos2 A

                                                                                10. cos (A + B) cos (A ‒ B) = cos2 A ‒ sin2 B = cos2 B ‒ sin2 A

                                                                                11. sin (A + B + C) = cos A cos B cos C (tan A + tan B + tan C ‒ tan A tan B tan C)

                                                                                12. cos (A + B + C) = cos A cos B cos C (1 ‒ tan A tan B ‒ tan B tan C ‒ tan C tan A)

                                                                                13. tan (A + B + C) =

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল যোগ বা বিয়োগফলে রূপান্তর:

                                                                                1. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A ‒ B)

                                                                                2. 2 cos A sin B = sin (A + B) ‒ sin (A ‒ B)

                                                                                3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A ‒ B)

                                                                                4. 2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগ বা বিয়োগফল গুণফলে রূপান্তর:

                                                                                1. sin C + sin D = 2 sin  cos

                                                                                2. sin C ‒ sin D = 2 cos  sin

                                                                                3. cos C + cos D = 2 cos  cos

                                                                                4. cos D ‒ cos C = 2 sin  sin

                                                                                ⇒ cos C ‒ cos D = 2 sin  sin

 

গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

                                                                                1. sin 2A = 2 sin A cos A =

                                                                                2. cos 2A = cos2 A ‒ sin2 A = 2cos2 A ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2 A =

                                                                                3. tan 2A =

                                                                                4. sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin3 A

                                                                                5. cos 3A = 4 cos3 A ‒ 3 cos A

                                                                                6. tan 3A =

 

উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত: গুণিতক কোণের সূত্র থেকে সহজেই উপগুণিতক কোণের সূত্র বের করা যায়। দ্বিগুণিতক সূত্রে A =  এবং ত্রিগুণিতক সূত্রে A =  বসালেই উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সূত্র পাওয়া যায়।

                                                                                1. sin θ = 2 sin  cos =

                                                                                2. cos θ = cos2  ‒ sin2  = 2cos2  ‒ 1 = 1 ‒ 2sin2  =

                                                                                3. tan θ =

                                                                                4. sin θ = 3 sin  ‒ 4 sin3

                                                                                5. cos θ = 4 cos3  ‒ 3 cos

                                                                                6. tan θ =

উদাহরণ 1. মান নির্ণয় কর:

(i) cos 690°

(ii) sin (‒ 1395°)

(iii) cosec

সমাধান:

(i)

cos 690° = cos (7×90° + 60°)

এক্ষেত্রে n = 7 যা বিজোড় সুতরাং cos সহ-অনুপাত sin এ পরিবর্তিত হবে।

আবার, প্রতি চতুর্ভাগ অতিক্রম করা মানে 90° করে কোণ অতিক্রম করা। এক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 7টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে আরও 45° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।  [(n.90° ± θ) কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয়]

∴ cos 690° = sin 60° =             [0°, 30°, 45°, 60°90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান]

অথবা,

cos 690° = cos (8×90° ‒ 30°)

এক্ষেত্রে, n = 8 যা জোড় সুতরাং অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে।

আবার, ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে 8টি চতুর্ভাগ অতিক্রম করে উল্টো দিকে অর্থাৎ ঘড়ির কাঁটার দিকে 30° গেলে নির্ণেয় কোণের প্রান্তিক বাহুর অবস্থান হয় চতুর্থ চতুর্ভাগে যেখানে cos ধনাত্মক।

∴ cos 690° = cos 30° =

(ii)

sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (15×90° + 45°)} = ‒ (‒ cos 45°) =

অথবা,

sin (‒ 1395°) = ‒ {sin (16×90° ‒ 45°)} = ‒ (‒ sin 45°) =

(iii)

cosec  = cosec  = cosec  = ‒ cosec  =

উদাহরণ 2. যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sin A =  হয়, তবে cot A এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

পদ্ধতি 1:

দেওয়া আছে, sin A = 

আমরা জানি,

sin2 A + cos2 A = 1 ⇒ cos2 A = 1 ‒ sin2 A ⇒ cos A = ±  = ±  = ±

কিন্তু A সূক্ষ্মকোণ অর্থাৎ প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে। সুতরাং cos A ধনাত্মক। ∴ cos A =

∴ cot A =  =  =

পদ্ধতি 2:

মনে করি, BOC সমকোণী ত্রিভুজে ∠OCB = A

তাহলে, sin A =  =

অর্থাৎ, OB = 12, BC = 13

কিন্তু পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

OB2 + OC2 = BC2

⇒ OC2 = BC2 ‒ OB2

⇒ OC = ±

কিন্তু কোনো কিছুর পরিমাপ কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ OC =  =  = 5

∴ cot A =  =

উদাহরণ 3. যদি  < θ < π এবং sin θ =  হয়, তবে  এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,  < θ < π সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ২য় চতুর্ভাগে এবং ‒ θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ৩য় চতুর্ভাগে।

∴ tan θ = ‒

∴ sec (‒θ) = ‒

∴ cot θ = ‒

∴ cosec (‒ θ) = ‒

 =  =  =

উদাহরণ 4. sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

sin 480° cos 750° + cos (‒ 660°) sin (‒ 870°)

= sin (5×90° + 30°) cos (8×90° + 30°) + {‒ cos (7×90° + 30°)} {‒ sin (9×90° + 60°)}

= cos 30° cos 30° + (sin 30°) (‒ cos 60°)

=  ‒

=  ‒

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 5. মান নির্ণয় কর:

(i) sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + … … … + sin2 80°

(ii) cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 55° + cos2 65°

সমাধান:

(i)

sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + … … … + sin2 80°

= sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + sin2 40° + sin2 (90° ‒ 40°) + sin2 (90° ‒ 30°) + sin2 (90° ‒ 20°) + sin2 (90° ‒ 10°)

= sin2 10° + sin2 20° + sin2 30° + sin2 40° + cos2 40° + cos2 30° + cos2 20° + cos2 10°

= (sin2 10° + cos2 10°) + (sin2 20° + cos2 20°) + (sin2 30° + cos2 30°) + (sin2 40° + cos2 40°)

= 1 + 1 + 1 + 1                [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1]

= 4

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

(ii)

cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 55° + cos2 65°

= cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + cos2 (90° ‒ 35°) + cos2 (90° ‒ 25°)

= cos2 25° + cos2 35° + cos2 45° + sin2 35° + sin2 25°

= (sin2 25° + cos2 25°) + (sin2 35° + cos2 35°) + cos2 45°

= 1 + 1 +

= 2 +

=

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়:

উদাহরণ 6.  এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

=

=

=

=                           [ = tan θ]

=              [tan 45° = 1]

= tan (45° ‒ 25°)            [  = tan (A ‒ B)]

= tan 20°

উদাহরণ 7. মান নির্ণয় কর:

(i) sin 15°

(ii) cos 15°

(iii) tan 15°

(iv) sin 75°

(v) cos 75°

(vi) tan 75°

সমাধান:

(i)

sin 15°

= sin (45° ‒ 30°)

= sin 45° cos 30° ‒ cos 45° sin 30°         [sin (A ‒ B) = sin A cos B ‒ cos A sin B]

=

=

(ii)

cos 15°

= cos (45° ‒ 30°)

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°        [cos (A ‒ B) = cos A cos B + sin A sin B]

=

=

(iii)

tan 15°

=

=

=

=

=

=

= 2 ‒

(iv)

sin 75°

= sin (45° + 30°)

= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

=

=

(v)

cos 75°

= cos (45° + 30°)

= cos 45° cos 30° ‒ sin 45° sin 30°

=

=

(vi)

tan 75°

=

=

=

=

=

= 2 +

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন:

1. নিচের কোনটি sin A বা  cos A এর বহুপদীরূপে  sin 3A কে প্রকাশ করে?

[DU 2001-2002, 2003-2004]

(A) 4 sin3 A ‒ 3 sin A      (B) 3 sin3 A ‒ 4 sin A      (C) 3 sin A ‒ 4 sin3 A      (D) 4 sin3 A ‒ 3 cos A

2. cos 420° cos 390° + sin (‒300°) sin (‒ 330°) এর মান ‒                                        

[DU 2001-2002]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D)

3.  = ?                                                                                                                                    

[DU 2001-2002]

(A) tan 2θ                           (B) 2 sin θ cos θ               (C) 2 cos2                        (D) cos 2θ

4. নিচের কোন রাশিমালাটি cos 3A কে cos A বা sin A এর বহুপদীরূপে প্রকাশ করে

[DU 2002-2003]

(A) 3 cos A ‒ 4 cos3 A    (B) 4 cos3 A ‒ 3 cos A    (C) 3 sin A ‒ 4 sin3 A      (D) 4 sin3 A ‒ 3 sin A

5. sin 65° + cos 65° সমান

[DU 2002-2003]

(A)  cos 40°                   (B)  sin 20°                       (C)  cos 20°                  (D)  sin 40°

6. tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° এর মান

[DU 2003-2004]

(A) 0                                     (B) 1                                     (C)                                     (D)

7. cos 675° + sin (‒ 1395°) সমান

[DU 2003-2004]

(A)                                       (B)                                     (C) ‒                                (D)

8.  সমান

[DU 2004-2005, 2011-2012]

(A)                                   (B)                                   (C)                                     (D)

9. sin2 10° + sin2 20° + … … … + sin2 80° + sin2 90° এর মান

[DU 2004-2005]

(A) 5                                     (B) 6                                     (C) 4                                      (D) 3

10. sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) এর মান

[DU 2005-2006]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D)

11. cos2 30° + cos2 60° + … … … + cos2 180° এর মান

[DU 2006-2007]

(A) 0                                     (B) 2                                     (C) 3                                      (D) 4

12. cos 75° এর সঠিক মান

[DU 2007-2008]

(A)                                (B)                                   (C) ‒                               (D)

13. যদি cos A =  হয়, তবে  এর মান

[DU 2007-2008]

(A) ‒                                 (B)                                       (C)                                     (D) ‒

14. cos2 0° + cos2 10° + cos2 20° + … … … + cos2 90° এর মান

[DU 2008-2009]

(A) 6                                     (B) 3                                     (C) 5                                      (D) 4

15. cot A ‒ tan A সমান

[DU 2008-2009]

(A) 2 tan 2A                       (B) 2 cot 2A                       (C) 2 cos2 A                        (D) 2 sin2 A

16. tan θ =  এবং θ সূক্ষ্মকোণ হলে sin θ + sec (‒θ) এর মান

[DU 2008-2009]

(A)                                   (B)                                   (C)                                   (D)

17. cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° এর মান

[DU 2009-2010]

(A) 0                                     (B) ‒ 1                                  (C) 1                                      (D)

18. যদি cos θ =  হয়, তাহলে tan θ এর মান

[DU 2009-2010]

(A) ±                                (B)                                   (C)                                     (D) ±

19. যদি  A + B + C = π হয়, তবে sin2 + sin2 + sin2 সমান

[DU 2010-2011]

(A) 1 ‒ 2 sin  sin  sin

(B) 1 + 2 sin  sin  sin

(C) 1 ‒ sin  sin  sin

(D) 1 + sin  sin  sin

সমাধান:

1.

আমরা জানি, sin 3A = 3 sin A ‒ 4 sin3 A                                [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (C)

2.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে পাই:

∴ Answer: (D)

3.

আমরা জানি, sin 2θ = 2 sin θ cos θ =      [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

4.

আমরা জানি, cos 3A = 4 cos3 A ‒ 3 cos A             [গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত]

∴ Answer: (B)

5.

sin 65° + cos 65°

= sin 65° + cos (90° ‒ 25°)

= sin 65° + sin 25°

= 2 sin  cos

= 2 sin 45° cos 20°

= 2. cos 20°

=  cos 20°

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করে প্রদত্ত রাশির সাথে প্রশ্নের Option গুলোর মান মিলিয়ে সঠিক উত্তর নির্বাচন করা যায়।      [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

এক্ষেত্রে,

sin 65° + cos 65° = 1.3289…

 cos 40° = 0.9382…

 sin 20° = 0.1710…

 cos 20° = 1.3289…

∴ Answer: (C)

6.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

tan 75° ‒ tan 30° ‒ tan 75° tan 30° = 1                 [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (B)

7.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

cos 675° + sin (‒ 1395°) = 1.4142… =           [উদাহরণ 1. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (D)

8.

[উদাহরণ 6. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

 = 1.732 … =

∴ Answer: (A)

9.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin2 10° + sin2 20° + … … … + sin2 80° + sin2 90° = 5

∴ Answer: (A)

10.

[উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

sin 780° cos 390° ‒ sin 330° cos (‒ 300°) = 1

∴ Answer: (C)

11.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos2 30° + cos2 60° + … … … + cos2 180° = 3

∴ Answer: (C)

12.

[উদাহরণ 7. দ্রষ্টব্য]

cos 75° =

∴ Answer: (D)

13.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∴ tan A = ±

 =  =  =

∴ Answer: (C)

14.

[উদাহরণ 5. দ্রষ্টব্য]

অথবা, সরাসরি Calculator ব্যবহার করেও সমাধান করা যায়।

cos2 0° + cos2 10° + cos2 20° + … … … + cos2 90° = 5

∴ Answer: (C)

15.

cot A ‒ tan A

=

=

=          [cos 2A = cos2 A ‒ sin2 A]

=

=              [sin 2A = 2 sin A cos A]

= 2 cot 2A

∴ Answer: (B)

16.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সূক্ষ্মকোণ ∴ sin θ =  এবং sec (‒θ) = sec θ =

∴ sin θ + sec (‒ θ) =  +  =

∴ Answer: (B)

17.

সরাসরি Calculator ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

cos 198° + sin 432° + tan 168° + tan 12° = 0                   [উদাহরণ 4. দ্রষ্টব্য]

∴ Answer: (A)

18.

[উদাহরণ 2 দ্রষ্টব্য]

∵ θ সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু বলা নেই এবং cos θ ধনাত্মক সুতরাং θ এর প্রান্তিক বাহুর অবস্থান ১ম অথবা ৪র্থ চতুর্ভাগের যেকোনোটিতে হতে পারে।

∴ tan θ = ±

∴ Answer: (A)

19.

sin2 + sin2 + sin2

=

=                        [cos θ = 1 ‒ 2sin2  ⇒ 2sin2  = 1 ‒ cos θ]

=

=                    [cos C + cos D = 2 cos  cos ]

=                         [ A + B + C = π ⇒ ]

=

=

=

=

=                             [2 sin A sin B = cos (A ‒ B) ‒ cos (A + B)]

=

অথবা,

A = B = C = 60° ধরলে Calculator ব্যবহার করে পাই,

sin2 + sin2 + sin2 = 0.75

1 ‒ 2 sin  sin  sin  = 0.75

∴ Answer: (A)

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon