সীমা (limits)

সীমা (limits)

  • প্রয়োজনীয় তথ্যাদি :
  • lim (sinθ/θ) = lim (θ/sinθ) = 1

θ→0                θ→0

  • lim (tanθ/θ) = lim (θ/tanθ) = 1

θ→0                θ→0

  • lim  ( xn-an / x-a ) = nan-1

x→a

  • lim  ( ex-1 / x ) = 1

x→0

  • lim (1+x)1/x = lim ( 1 + 1/x )x = e

x→0              x→α

  • Short-cuts :
  • lim (tan-1x/x) = lim (x/tan-1x) = 1

x→0                x→0

  • lim (sin-1x/x) = lim (x/sin-1x) = 1

x→0                x→0

  • L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি lim (x→a)  আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image003_0000.gif" এর মান 0/0 আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার 0/0 আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

 

  • Type- 1 :

lim (x→2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image005.gif" 
= lim (x→2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image007.gif"
= lim (x→2) (x2+2x+4) = 4+4+4 = 12              [ans.]
এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে u = 2 বসালে 0/0 আকারে আসে ।
lim (x→2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image009.gif"
= lim (x→2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image011.gif"
= 3.22
= 12                 [ans.]

  • Type- 2 :

lim (x→α) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image003_0001.gif" আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।
example :
lim (x→α) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image013.gif"
= lim (x→α) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image015.gif"
= lim (x→α) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image017.gif"
= (1+0)/(3+0+0)
= 1/3                [ans.]

Note : something/α = 0

  • Type- 3 :

lim (1+ax)1/ax = lim (1+1/bx)bx = e
x→0                x→α
সূত্রটির ব্যবহার :

  • lim (1+5x)1/x

x→0
= lim (1+5x)1/5x.5
x→0
= e5                        [ans.]

  • lim,(1+1/3x)9x

x→α
= lim (1+1/3x)3x.3
x→α
e3                           [ans.]

  • Type- 4 :

example- 1 :
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image019.gif"
অংকটিতে, x = 0 বসালে 0/0 আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image019_0000.gif"
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image021.gif"                     [differentiate করে]
এখনও এটি 0/0 আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image023.gif"
এখন,x=0 বসালে আমরা পাই 9/6 = 3/2 । এটিই উত্তর ।

example- 2 :
lim (x→π/2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image025.gif"                  [0/0 form]
= lim (x→π/2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image027.gif"                 [not o/o form]
= src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image029.gif"
= 0/1  = 0                     [ans.]

example- 3 :
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image031.gif"                     [o/o form]
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image033.gif"                      [o/o form]
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image035.gif"                     [not o/o form]
= 1/3                            [ans.]

  • Type- 5 :

lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image037.gif" আকারে থাকলে, লবে ± এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।
example- :
lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image039.gif"
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image041.gif"
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image043.gif"
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image045.gif"
= 6/4  = 3/2                  [ans.]

  • Type- 6 :

lim (x→a) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image047.gif" সূত্রের ব্যবহার :

= lim (x→a) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image051.gif"
= 3(√a)3-1
= 3a                 [ans.]

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর :

= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image055.gif"
= 0                               [ans.]

= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image059.gif" . 2
= 1.2
= 2                               [ans.]

= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image063.gif"
= 2/2
= 1                               [ans.]

= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image067.gif"
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image069.gif"
= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image071.gif"
= 2/2√3
= 1/√3              [ans.]

এখানে যেহেতু 0/0 form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2.

= lim (x→ π/2) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image075.gif"
= lim (x→ π/2)
= cot π/2
= 0                               [ans.]

= lim (x→0) src="http://edpdbd.info/edpdbd_upload/images_science/math_images/sima/clip_image077_0000.gif" . 3
= 1.3
= 3                               [ans.]

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon