সীমা (limits) (free jangle)

সীমা (limits)

 

*      প্রয়োজনীয় তথ্যাদি :

1.      lim (sinθ/θ) = lim (θ/sinθ) = 1

θ→0                θ→0

2.      lim (tanθ/θ) = lim (θ/tanθ) = 1

θ→0                θ→0

3.      lim  ( xn-an / x-a ) = nan-1

x→a

4.      lim  ( ex-1 / x ) = 1

x→0

5.      lim (1+x)1/x = lim ( 1 + 1/x )x = e

x→0              x→α

*      Short-cuts :

1.      lim (tan-1x/x) = lim (x/tan-1x) = 1

x→0                x→0

2.      lim (sin-1x/x) = lim (x/sin-1x) = 1

x→0                x→0

 

*      L’ Hopitals Rule : কোন অংক যদি lim (x→a)  আকারে থাকে এবং x = a বসালে যদি  এর মান 0/0 আকারে আসে তাহলে এই Rule প্রয়োগ করা হয় । এক্ষেত্রে যতোবার 0/0 আকারে আসবে ততোবার অন্তরীকরণ করতে হবে ।

 

*      Type- 1 :

lim (x→2)

= lim (x→2)

= lim (x→2) (x2+2x+4) = 4+4+4 = 12              [ans.]

এই অংকটি L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করেও খুব সহজে সমাধান করা যায় । কারণ, উপর নিচে u = 2 বসালে 0/0 আকারে আসে ।

lim (x→2)

= lim (x→2)

= 3.22

= 12                 [ans.]

 

*      Type- 2 :

lim (x→α)  আকারে বসালে সর্বোচ্চ ঘাতবিশিষ্ট রাশি উপর ও নিচ হতে common নিয়ে সরল করে limiting point পরে বসাতে হবে ।

example :

lim (x→α)

= lim (x→α)

= lim (x→α)

= (1+0)/(3+0+0)

= 1/3                [ans.]

 

Note : something/α = 0

 

*      Type- 3 :

lim (1+ax)1/ax = lim (1+1/bx)bx = e

x→0                x→α

সূত্রটির ব্যবহার :

i.                    lim (1+5x)1/x

x→0

= lim (1+5x)1/5x.5

x→0

= e5                        [ans.]

ii.                  lim,(1+1/3x)9x

x→α

= lim (1+1/3x)3x.3

x→α

e3                           [ans.]

 

*      Type- 4 :

example- 1 :

lim (x→0)

অংকটিতে, x = 0 বসালে 0/0 আসে । তাই L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করা যায় ।

lim (x→0)

lim (x→0)                      [differentiate করে]

এখনও এটি 0/0 আকারে আছে । সুতরাং পুনরায় অন্তরীকরণ করে,

lim (x→0)

এখন,x=0 বসালে আমরা পাই 9/6 = 3/2 । এটিই উত্তর ।

 

example- 2 :

lim (x→π/2)                   [0/0 form]

= lim (x→π/2)                  [not o/o form]

=

= 0/1  = 0                     [ans.]

 

example- 3 :

lim (x→0)                      [o/o form]

= lim (x→0)                       [o/o form]

= lim (x→0)                      [not o/o form]

= 1/3                            [ans.]

 

*      Type- 5 :

lim (x→0)  আকারে থাকলে, লবে ± এর স্থানে যে চিহ্ন থাকবে তার বিপরীত চিহ্নের রাশি দিয়ে লব হরকে গুণ করতে হবে ।

example- :

lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= 6/4  = 3/2                  [ans.]

 

*      Type- 6 :

lim (x→a)  সূত্রের ব্যবহার :

        i.            lim (x→a)

= lim (x→a)

= 3(√a)3-1

= 3a                 [ans.]

 

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নোত্তর :

1.      lim (x→0)

= lim (x→0)

= 0                               [ans.]

2.      lim (x→0)

= lim (x→0)  . 2

= 1.2

= 2                               [ans.]

3.      lim (x→0)                       [0/0 form]

= lim (x→0)

= 2/2

= 1                               [ans.]

4.      tan-1x/x = 1      [ans.]

5.      lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= lim (x→0)

= 2/2√3

= 1/√3              [ans.]

6.      lim (x→0)

এখানে যেহেতু 0/0 form সুতরাং L’ Hopital’s Rule প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর পাওয়া যায় । উত্তর হবে 2.

7.      lim (x→ π/2)      [0/0 form]

= lim (x→ π/2)

= lim (x→ π/2)

= cot π/2

= 0                               [ans.]

8.      lim (x→0)

= lim (x→0)  . 3

= 1.3

= 3                               [ans.]

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon