স্থানাঙ্ক

সাধারণ ধারণা :

 

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থার নিদেশিত হলে,

 

      x = ঐ বিন্দুর ভুজ (abscissa) বা x– স্থানাঙ্ক

      y = ঐ বিন্দুর কোটি (ordinate) বা y– স্থানাঙ্ক

 

পোলার স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে (Polar Co-ordinate Geomatry) p (π,θ) দ্বারা কোন বিন্দুর অবস্থান নির্দেশিত হলে ,

 

    π = ঐ বিন্দুর ব্যাসাধ ভেক্টর (Radius Vector)

    θ = ভেক্টোরিয়াল কোণ (Vectorian Vector)

 

যখন, π2 = x2+y2

এবং θ = tan-1(y/x)  [ বিন্দুর অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে হলে ]        

     = π - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে হলে ]

     = π + tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান তৃতীয় চতুভাগে হলে ]

     = - tan-1(y/x) [ বিন্দুর অবস্থান চতুর্থ চতুভাগে হলে ]

            or, 2π - tan-1(y/x)

 

x = π cosθ       ; y = π sinθ

  • মূল বিন্দু বা পোল এর স্থানাঙ্ক ≡ (0,0)
  • x অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর কোটি শূণ্য (0)
  • y অক্ষরেখার উপর যেকোন বিন্দুর ভুজ শূণ্য (0)
  • x অক্ষরেখার থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর কোটি = │y│
  • y অক্ষরেখা থেকে যেকোন বিন্দুর দূরত্ব হল ঐ বিন্দুর ভুজ = │x│
  • যেকোন বিন্দু p (x1, y1) এবং এর মধ্যকার দূরত্ব হল,

PQ =

  • মূল বিন্দু থেকে P(x1,y1) বিন্দুর দূরত্ব =
  • P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি অর্ন্তবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ যেখানে m1,m2ϵIR

   তবে,

x =

y =

¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি যদি বহিবিভক্ত করে অথাৎ PR:RQ=m1:m2 হয় যেখানে m1,m2ϵIR

x =

y =

¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে যদি R(x,y) বিন্দুটি সমদ্বিখন্ডিত করে অথাৎ PR:RQ=1:1, হয় তবে,

x =

y =

¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দু গুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে ≡ ( ,  )

¥ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে

¥ বগক্ষেত্র ,আয়তক্ষেত্র , রম্বস ও সামান্তরিকের কণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

¥ P(x1,y1) এবং Q(x2,y2) বিন্দদ্বিয়ের সংযোজক সরলরেখাকে R(x,y) বিন্দুটি k:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করলে, k =  =

এবং বহি:বিভক্ত করলে, k =  =

¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে x অক্ষ -:1 অনুপাতে এবং y অক্ষ -:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।অনুপাতের মান ঋণাত্মক হলে  বুঝতে হবে অক্ষরেখা উক্ত সরলরেখাকে বহির্বিভক্ত করে ।

¥ কোন ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র,পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তবিভক্ত করে ।

¥ P(x1,y1) ও Q(x2,y2) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাকে ax+by+c=0 রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করলে, k = - । k এর মান ঋণাত্মক হলে বুঝতে হবে রেখাটি বহিবিভক্ত হয়েছে।

¥ কোন ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), এবং (x3,y3) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে,

x1

x2

x3

y1

y2

y3

1

1

1

 

½   = ½ {x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)}                                       

 

 

অথবা নিমক্ত উপায়ে সজ্জিত করেও সহজে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়

x1

y1

x2

y2

x3

y3

x1

y1

 

 

   ⇒ Δ = ½ {(x1y2+x2y3+x3+y1)-(y1x2+y2+x3+y3x1)}

 

 

 উক্ত প্রকিয়ায় যেকোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সম্ভব ।

 

¥ ∆ABC ত্রিভুজের শীষবিন্দুগুলো যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) এবং a, b, c যথাক্রমে ∠A, ∠B এবং ∠C এর বিপরীত বাহু হলে :

 

I. অন্তকেন্দ্র ≡ ( , )

ii. পরিকেন্দ্র ≡ ( , )

iii. লম্ববিন্দু ≡ ( , )

¥ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে তাদের হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে ।

 

¥ কোন সামান্তরিকের A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (x1,y1), (x2,y2), ও (x3,y3) হলে,

D ≡ (x1+x3-x2, y1+y3-y2)

¥ ∆ABC এর BC, CA ও AB এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে  D(x1,y1), E(x2,y2) ও F(x3,y3) হলে,

  1. A ≡ (x3+x2-x1, y3+y2-y1)

B ≡ (x1+x2-x2, y1+y3-y2)

C ≡ (x1+x2-x3, y1+y2-y3)

  1. ∆ক্ষেত্র ABC = ∆ক্ষেত্র DEF
  2. ∆ABC ও ∆DEF এর ভরকেন্দ্র একই

গাণিতিক সমস্যা

(Examplary problems with sollution :)

1.কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-1,√3) হলে,বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      এখানে, x=-1, y=√3 অথাৎ বিন্দুর অবস্থান দ্বিতীয় চতুভাগে ।

∴, π =  = 2

∴, θ = π – tan-1(y/x) = 180° - 60° = 120°

2.কার্তেসীয় সমীকরণগুলোকে পোলার সমীকরণে এবং পোলার সমীকরণ গুলোকে কার্তেসীয় সমীকরণে পরিণত কর

সমাধান :

  1. x2+y2-2ax = 0
  2. y = x tanα
  3. π = 2a cosθ
  4. π2sin2θ = 2a2
  5. (x2+y2)2 = 2a2xy
  6. π2 = a2 cos2θ
  7. π(1+cosθ) = 2

 

i. x2+y2-2ax = 0 ⇒ x2+y2 = 2ax

                                     ⇒ π2 = 2a.π cosθ

                                      ⇒ π  = 2a cosθ

 

ii.         y = x tanα ⇒ π sinθ = π cosθ – tanα

                                    ⇒ sinθ/cosθ = tanα

                                    ⇒ tanθ = tanα

                                    ⇒ θ = α

 

iii.        π = 2a cosθ ⇒ π2 = 2a π cosθ

                                       ⇒ x2+y2 = 2ax

                                       ⇒ x2+y2-2ax = 0

 

iv.        π2sin2θ = 2a2 ⇒ π2 2sinθ.cosθ = 2a2  [sin2θ = 2sinθ.cosθ]

                                       ⇒ π sinθ.π cosθ = a2

                                       ⇒ xy = a2

 

v.         (x2+y2)2 = 2a2xy ⇒ (π2)2 = 2a2. πcosθ. πsinθ

                                                ⇒ π2 = 2a2. 2sinθ.cosθ

                                                ⇒ π2 = a2 sin2θ

 

vi.        π2 = a2 cos2θ ⇒ π2 = a2 (cos2 θ – sin2θ)

                                          ⇒ π4 = a22cos2θ – π2sin2θ)       [উভয়পক্ষকে π2 দ্বারা গুণ করে]

                                      ⇒ (x2+y2)2 = a2(x2-y2)

 

vii.       π(1+cosθ) = 2 ⇒ π(1+cosθ) = 2

                                       ⇒ π + π cosθ = 2

                                       ⇒ π +x = 2

                                       ⇒ π2 = (2-x)2

                                       ⇒ x2+y2 = 4-4x+x2

                                       ⇒ y2 = -4(x-1)

 

3.x অক্ষ ও (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুটির দূরত্ব সমান হলে k-এর মান নির্ণয় কর ।

সমাধান :

   x অক্ষ থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব = │কোটি│ = k

   (-5,-7) থেকে (4,k) বিন্দুর দূরত্ব =

                              =

                              =

 

 প্রশ্নমতে, k =

     ⇒ k2 = 130+14k+k2

              ⇒ k = -(65/7)

 

4.A(-1,2) ও B(3,-4) বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাকে x অক্ষরেখা ও y অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

মনে করি, x অক্ষরেখা AB কে k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ ( ,  )

কিন্তু x অক্ষরেখার উপরস্থিত সকল বিন্দুর কোটি শূণ্য ।

অথাৎ,  = 0 ⇒ 2-4k = 0 ⇒ k = ½

∴ x অক্ষরেখা AB কে 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

অনুরূপভাবে, y অক্ষরেখাকে উপরস্থিত সকল বিন্দুর ভুজ শূণ্য ।

অথাৎ,  = 0 ⇒ -1+3k = 0 ⇒ k = 1/3

∴ y অক্ষরেখা AB কে 1:3 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

Short-cut :

x অক্ষরেখা AB কে - = - =  অথাৎ 1:2 অনুপাতে বিভক্ত করে

y অক্ষরেখা AB কে - = - =   অথাৎ 1:3  অনুপাতে বিভক্ত করে

5.A, B, C, D বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (0,-1), (15,2), (-1,2), (4,-5)); CD কে AB রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      মনে করি, CD কে AB রেখাটি k:1 অনুপাতে বিভক্ত করে ।

তাহলে বিভাগ বিন্দু E এর স্থানাঙ্ক ≡ ( , )

∵ A, M, B বিন্দুগুলো সমরেখ ।

∴ ∆AMB = 0

0

-1

1

1

 15

2

1

 

 

⇒ ½ = 0

                             

 

 

 

0

-1

1

4k-1

-5k+2

k+1

15

2

1

 

⇒                                                      = 0

 

 

0

0

1

4k-1

-4k+3

k+1

15

3

1

 

⇒  

        = 0

 

 

 

⇒ 12k-3+60k-45=0

⇒ 72k = 48

⇒ k = 2/3

 

6.একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (5,3) ; এর জ্যা (3,2) যে বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার দৈঘ্য নির্ণয় কর

সমাধান :

      মনে করি, O (5,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB জ্যা C (3,2) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ।

     ∴ OC ⊥ AB   [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব ]

      OA = 5  [বৃত্তের ব্যাসাধ ]

        ∴ OC2 = (5-3)2 + (3-2)2 = 5

   তাহলে, AOC সমকোনী ত্রিভুজে,

      AC2 = OA2-OC2 = 25-5 = 20

      ⇒ AC = 2√3

      ∴ AB = 2AC = 4√5

7.একটি বিন্দুর কোটি এর ভুজের দ্বিগুণ । যদি এর দূরত্ব (4,3) থেকে √10 একক হয় তবে বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      ধরি, ভুজ = x     ∴ কোটি = 2x

∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক ≡ (x,2x)

এখন,  = √10

⇒ x2-8x+16+4x2-12x+9 = 10

⇒ 5x2-20x+15 = 0

⇒ x2-4x+3 = 0

⇒x2-3x-x+3 = 0

⇒ x(x-3)-1(x-3) = 0

⇒ (x-3)(x-1) = 0

∴ x = 3 অথবা 1

যখন x=3 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (3,6)

যখন x=1 তখন স্থানাঙ্ক ≡ (1,2)

8.একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (6,1), (-1,0), (1,-2) । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত ?

-1

1

6

0

-2

1

1

1

1

সমাধান :

 

∴ ∆DEF = ½

 

 

 

 

0

2

7

0

-2

1

1

1

1

 

                  = ½      [π1´ = π13]

 

 

 

                  = ½  (2+14) = 8 বর্গ একক

 

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

          = 32 বর্গ একক

 

 

 

 

D

-1

 0

E

 1

-2

F

 6

 1

D

-1

 0

অথবা,

 

 

 

 

 

⇒ ∆DEF = ½ {2+1+0-(0-12-1)}

                  = ½ (3+13)

                  = 8 বর্গ একক

 

∴ ∆ABC = 4 ∆DEF

          = 32 বর্গ একক

 

 

9.A ও B বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2,4) এবং (4,-5) । AB রেখা C বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC । C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর ।

সমাধান :

      এখানে, AB = 3BC

                              ⇒  =

                              ⇒ AB:BC = 3:1

      তাহলে C বিন্দুর স্থানাঙ্ক ≡ (x,y) হলে,

 = 4                             এবং  = -5

⇒ 3x-2 = 16                      ⇒ 3y+4 = -20

⇒ x = 6                             ⇒ y =-8

 

∴ C ≡ (6,-8)

 

Past DU questions with Solutions :

 

1. (-k,2), (0,5) ও (2-k,3) বিন্দুদ্বয় সমরেখ হলে k এর মান কত? [1999-2000]

a. 0

b. 5

c. -14

d. 3

 

2. যদি (-5,2), (4,5), (7,-4) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত? [2001-02]

a. 48

b. 46 ½

c.50 ½

d. 71 ½

 

3. কোন ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুসমূহ (-1,-2), (2,5) ও (3,10) হলে তার ক্ষেত্রফল- [2003-04]

a. 10 sq units

b. 15 sq units

c. 4 sq units

d. 18 sq units

 

4. (x,y), (2,3) ও (5,1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে- [2005-06]

a. 4x-3y-17 = 0

b. 4x+3y-17 = 0

c. 3x+4y+17 = 0

d. 3x+4y-17 = 0

 

5. (1,4) ও (9,12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তার  স্থানাংক- [2005-06]

a. (3,2)

b. (5,5)

c. (6,-6)

d. (-1,1)

 

6. (2,2-2x), (1,2) এবং (2,6-2x) বিন্দুগুলো সমরেখ হলে b এর মান- [2006-07]

a. -1

b. 1

c. 2

d. -2

 

7. (1,4) এবং (9,-12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশ অন্তঃস্থভাবে যে বিন্দুতে 5:3 অনুপাতে বিভক্ত হয় তার স্থানাংক

a. (6,-6)

b. (3,5)

c. (2,1)

d. (-6,5)

 

8. A, B, C বিন্দুগুলির স্থানাংক যথাক্রমে (a,bc), (b,ca), (c,ab) হলে ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত? [2009-10]

a. ½ abc

b. ½ (a-b)(b-c)(c-a)

c. ½ (b-a)(b-c)(c-a)

d. ½ 3abc

 

Solutions :

1. বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।

-k

0

2-k

2

-5

3

1

1

1

অর্থাৎ,

                    ½                                                                   = 0

 

-2

k

2-k

-1

-7

3

0

0

1

 

                  ⇒         = 0

 

                  ⇒ 14+k = 0

                  ⇒ k = -14

                  ∴ anser : c

-5

 1

 4

 5

 7

-4

-5

 1

2.

 

 

 

ক্ষেত্রফল = ½ {(-25-16+7)-(4+35+20)}

 = 46 ½ বর্গ একক     [N.B: ক্ষেত্রফলের মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

 

                  ∴ anser :b

-1

-2

 2

 5

 3

10

-1

-2

3.

 

 

 

ক্ষেত্রফল = ½ {(-5+20-6)-(-4+15-10)}

         = 4 sq units

                  ∴ anser : c

 

4.  বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শূণ্য হবে।

x

2

5

y

3

1

1

1

1

 

                    ½       = 0 

                                                                 

 

x-2

-3

5

y-3

2

1

0

0

1

 

                  ⇒         = 0       [c1´ = c1-c2; c2´ = c2-c3]

 

                  ⇒ 2x-4+3y-9 = 0

                  ⇒ 2x+3y-13 = 0

অথবা, সরাসরি (2,3) ও (5,1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ বের করলেই হবে-

                   =

                  ⇒ 2x-4 = -3y+9

                  ⇒ 2x+3y-13 = 0

                  ∴ anser : 2x+3y-13 = 0; not given in the options

 

5.  এখানে, (x1,y1) = (1,4); (x2,y2) = (9,12); m1 = 5; m2 = 3

∴ x = (45+3)/8 = 6

∴ y = (60+12)/8 = 9

                  ∴ anser : (6,9) ; not given in the options

 

6. প্রশ্নমতে,

2

1

2

2-2x

2

b-2x

1

1

1

 

                    ½       = 0

                 

 

0

1

2

2-b

2

b-2x

0

1

1

 

                  ⇒         = 0

 

 

0

1

2

2-b

2

b-2x

0

0

-1

 

                  ⇒         = 0

 

                  ⇒ 2-b = 0

                  ⇒ b =2

∴ anser : c

 

7. নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাংক ≡ ( , )

                                  = (6,-6)

                  ∴ anser : a

a

b

c

ba

ca

ab

0

0

1

 

8. ∴ ∆ABC = ½

 

a-b

b-c

c

-c(a-b)

-a(b-c)ca

ab

0

0

1

 

                   = ½

 

1

1

c

-c

-a

ab

0

0

1

 

                   = ½ (a-b)(b-c)

 

                   = ½ (a-b)(b-c)(c-a)

                  ∴ anser : b

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon