সাধারণ ধারণা
বহুপদী ও তার ঘাত (Polynomial and its degree) : বহুপদী এক ধরনের বীজগাণিতিক রাশি (Expression) । এতে এক বা একাধিক পদ (element) থাকতে পারে । এক বা একাধিক চলকের (variable) কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও কোন ধ্রুবকের (constant) গুণফল হল বহুপদীর বিভিন্ন পদ । বহুপদীর পদগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীয় ঘাত (Degree) বলে ।
এক চলকের বহুপদী : এর প্রতি পদে শুধুমাত্র একটি চলকের বিভিন্ন পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবক থাকে । যেমন :
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+an একটি এক চলকের বহুপদী যেখানে x চলক । a 0, a1, a2, ...... an ∈ R হল ধ্রুবক যেখানে a0 ≠ 0 । n হল x এর সর্বাধিক ঘাত । লক্ষণীয়, x এর ঘাত কখনও ঋণাত্মক হতে পারবে না । a0 কে মুখ্য সহগ বলা হয় । এক চলক x-বিশিষ্ট এরূপ বহুপদী রাশিকে f(x) দ্বারাও প্রকাশ করা হয় ।
বহুপদী সমীকরণ (Polynomial Equation) : a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ......+a n = 0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে ।
x এর যে মানগুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয়, ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল (Roots) বলা হয় ।
n = 1,2,3 এর জন্য বহুপদী সমীকরণটিকে যথাক্রমে সরল সমীকরণ (Linear equation), দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation), ত্রিঘাত সমীকরণ (cubic equation) বলা হয় ।
বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য (Theorems of polynomial equations) :
i. বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental theorem of algebra) : প্রতিটি বহুপদী সমীকরণের অন্তত একটি মূল (বাস্তব কিংবা জটিল) থাকে ।
ii. n ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে n সংখ্যক মূল আছে (বাস্তব কিংবা জটিল) । তবে সব মূলগুলো ভিন্ন নাও হতে পারে ।
iii. ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) : যদি কোন বহুপদী f(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে f(a) ।
iv. উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) : যদি a, বহুপদী সমীকরণ f(x) এর একটি মূল হয় তবে (x-a) বহুপদী f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
v. অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য (Conjugate pairs theorem) : a+ib কোন বহুপদী সমীকরণের জটিল মূল হলে এর অনুবন্ধী a-ib ও সমীকরণের মূল হবে । এবং a+√b একটি মূল হলে (যেখানে √b অমূলদ), এর অনুবন্ধী a-√b ও সমীকরণের একটি মূল হবে ।
· বহুপদীর মূল সহগ সম্পর্ক : যদি a,b,c,d, ...... k কোন বহুপদী সমীকরণ p0xn+p1xn-1+p2x n-2+ ...... +pn এর মূল হয় তবে,
i. = a+b+c+ ...... + k = - p1/p0
ii. = ab+bc+cd+ ...... = P2/P0
iii. a×b×c×d×......×k = (-1)n (pn/p0)
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 2 হলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-
ax2+bx+c = 0; যেখানে a≠0; a,b,c মূলদ সংখ্যা
উক্ত সমীকরণ সমাধান করলে x এর দুইটি মান পাওয়া যাবে অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল হবে-
$\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}}}{2 \mathrm{a}}$ এবং $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
· দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α এবং β (α>β) হলে,
i. $\sum \alpha=\alpha+\beta=-\mathrm{b} / \mathrm{a}$ = -
ii. αβ = c/a =
· দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি (Nature of the roots) : আমরা জানি, ax 2+bx+c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ । এখানে, (b2 -4ac) এর মান পর্যালোচনা করলেই দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি জানা যায় । এজন্য (b2-4ac) কে দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক বা নিরূপক (Discriminant) বলা হয় ।
i. যদি b2-4ac=0 ⇒ b2=4ac হয় তবে মূল দুইটি হবে –b/2a এবং –b/2a । অর্থাৎ মূল দুইটি বাস্তব, মূলদ ও সমান হবে ।
ii. b2-4ac>0 ⇒ b2>4ac হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে ।
iii. b2-4ac<0 ⇒ b2<4ac হলে মূলদ্বয় অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা হবে ।
iv. (b2-4ac) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, মূলদ ও অসমান হবে ।
v. c = 0 হলে একটি মূল 0 হবে ।
vi. b = 0 হলে মূল দুইটি হবে √(-c/a) এবং -√(-c/a) অর্থাৎ মূল দুইটির মান সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে । লক্ষণীয়, এক্ষেত্রে a ও c একই চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় জটিল এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে মূলদ্বয় বাস্তব হবে ।
· দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার শর্ত : a1x2+b1x+c1=0 ও a2x2+b2x+c 2=0 সমীকরণদ্বয়ের-
i. একটি মূল সাধারণ হবে যদি (a1b2-a2b1)(b1c2-b2c1) = (c 1a2-c2a1)2 হয় ।
ii. উভয় মূলই সাধারণ হবে যদি a1/a2 = b1/b 2 = c1/c2 হয় ।
· দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন : দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল দেয়া থাকলে তা থেকে দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করা যায় । সমীকরণটি হবে-
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
অর্থাৎ দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল α ও β হলে সমীকরণটি হবে-
x2 - (α+β)x + αβ = 0
· ত্রিঘাত সমীকরণ Cubic equation) : বহুপদী সমীকরণের ঘাত 3 হলে তাকে ত্রিঘাত সমীকরণ বলে । এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ-
ax3+bx2+cx+d = 0; যেখানে a≠0; a,b,c,d মূলদ সংখ্যা
· ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক : ax3+bx2+cx+d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α,β,γ হলে-
i. = α+β+γ = -b/a
ii. = αβ+βγ+γα = c/a
iii. αβγ = -d/a
· Important formula :
i. (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (a-b)2 +4ab
ii. (a-b)2= a2-2ab+b2 = (a+b)2 -4ab
iii. 4ab = (a+b)2-(a-b)2
iv. a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2 +2ab
v. a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) = (a+b)(a 2-ab+b2)
vi. a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b) = (a-b)(a 2+ab+b2)
vii. a4+b4 = [(a+b)2-2ab]2 -2(ab)2
viii. a2+b2+c2 = (a+b+c)2 -2(ab+bc+ca)
ix. (a+b)2+(b+c)2+(c+a)2 = 2(a2 +b2+c2+ab+bc+ca)
x. (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 2(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)
xi. a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca)
= ½ (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
= (a+b+c){(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)}
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান :
1. x3-px2+qx-r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ হলে-
a. $\sum \alpha$
b. $\sum \alpha \beta$
c. $\sum \alpha^{2}$
d. $\sum \alpha^{3}$ এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
a. এখানে, $\sum \alpha=\alpha+\beta+\gamma=-(-\mathrm{p} / 1)=\mathrm{p}$ [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
b. $\sum \alpha \beta=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\mathrm{q} / 1=\mathrm{q}$ [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
c. $\sum \alpha^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)-2(\alpha \beta+\beta y+\gamma \alpha)$ [See Important formula viii]
= p2-2q
d. $\sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma$ [See Important formulae xi]
= p(p2-2q-3q)+{-(-r/1)} [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল সহগ-সম্পর্ক]
= p3-5pq+3r
2. x3+qx+r=0 এর মূলগুলো α,β,γ হলে $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}$ এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, x3+qx+r = 0 ⇒ x3+0.x2+qx+r = 0
∴ α+β+γ = 0...(i) [See ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
(i) ⇒ α+β = -γ; β+γ = - α; α+γ = -β
∴ $\frac{\gamma^{2}}{\alpha+\beta}+\frac{\alpha^{2}}{\beta+\gamma}+\frac{\beta^{2}}{\gamma+\alpha}=\frac{\gamma^{2}}{-\gamma}+\frac{\alpha^{2}}{-\alpha}+\frac{\beta^{2}}{-\beta}=-\gamma-\alpha-\beta=-(\alpha+\beta+\gamma)=0$
3. k এর মান কত হলে, (3k+1)x2+(11+k)x+9 = 0 সমীকরণের মূলগুলো-
a. সমান
b. বাস্তব ও অসমান
c. জটিল হবে?
সমাধান :
এখানে, নিশ্চায়ক, D = (11+k)2-4(3k+1)9 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি]
= k2+22k+121-108k-86
= k2-86k+85
= k2-k-85k+85
= (k-1)(k-85)
a. মূলগুলো সমান হবে যদি D=0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি i]
⇒ (k-1)(k-85) = 0
⇒ k=1 অথবা 85 হয়
b. মূলগুলো বাস্তব ও অসমান হবে যদি D>0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি ii]
⇒ (k-1)(k-85) > 0
⇒ k<1 অথবা 85>0 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]
c. মূলগুলো জটিল হবে যদি D<0 হয় [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি iii]
⇒ (k-1)(k-85) < 0
⇒ k<1<85 হয় [See Algebra - chaper 2 - বাস্তব সংখ্যা]
4. x2-2x+3 = 0 সমীকরণের মূল দুইটি α ও β হলে নিচের মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণসমূহ নির্ণয় কর ।
i. -α, -β
ii. 1/α, 1/ β
iii. -1/ α, -1/ β
iv. α+β, αβ
v. 4α, 4β
vi. α -1, β-1
vii. α2, β2
viii. 1/ α2, 1/β2
ix. α+ α-1, β+β-1
x. α+β-1, β+ α-1
xi. $\frac{1}{\alpha-1}, \frac{1}{\beta-1}$
xii. 1/α3, 1/β3
সমাধান :
এখানে, α+β = 2 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
αβ = 3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
i. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -α-β = -(α+β)
মূলদ্বয়ের গুণফল = (-α)(-β) = αβ
∴ -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(-α-β)x+(-α)(-β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(α+β)x+αβ = 0
⇒ x2+2x+3 = 0
Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণে মূলদ্বয় α ও β হলে -α ও -β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-bx+c=0
ii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1 / \alpha-1 / \beta=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=-2 / 3$
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α × 1/β = 1/(αβ) = 1/3
∴ 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/α+1/β)x+(1/α)(1/β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-2/3x+1/3 = 0
⇒ 3x2-2x+1 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α ও 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2+bx+a = 0
iii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = -1/α-1/β = - = -2/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (-1/α)×(-1/β) = 1/(αβ) = 1/3
∴ -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(-1/α-1/β)x+(-1/α)(-1/β) = 0 [See দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(2/3)x+(1/3) = 0
⇒ 3x2+2x+1 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে -1/α ও -1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, cx2-bx+a = 0
iv. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β+αβ = 5
মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β)(αβ) = 6
∴ α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-5x+6 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+a(b-c)x-bc = 0
v. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 4α+4β = 4(α+β) = 8
মূলদ্বয়ের গুণফল = (4α)(4β) = 16αβ = 48
∴ 4α ও 4β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(4α+4β)x+(4α)(4β) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-8x+48 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে nα ও nβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2+nbx+n2c = 0
vi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α-1+β-1 = α+β-2 = 0
মূলদ্বয়ের গুণফল = (α-1)(β-1) = αβ-α-β+1
= αβ-(α+β)+1
= 2
∴ (α-1) ও (β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(α-1+β-1)x+(α-1)(β-1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α-n) ও (β-n) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, ax2-(b-2an)x+c+bn+n2 = 0
vii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α2+β2 = (α+β)2-2αβ = 4-6 = -2
মূলদ্বয়ের গুণফল = α2β2 = (αβ)2 = 9
∴ α2 ও β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(α2+β2)x+(α2)(β2) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2x+9 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α2 ও β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, a2x 2+(b2-2ca)x+c2 = 0
viii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α2 + 1/β2
= $\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2}}$
= $\frac{(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}}$ [See Important formulae iv]
= (4-6)/9
= -2/9
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α2 . 1/β2 = 1/(αβ)2 = 1/9
∴ 1/α2 ও 1/β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/α2+1/β2)x+(1/α2)(1/β 2)=0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+(2/9)x+1/9 = 0
⇒ 9x2+2x+1 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α2 ও 1/β2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c2x 2-(b2-2ac)x+a2 = 0
ix. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+α-1+β+β-1
= α+β+1/α+1/β
= (α+β)+
= 2+2/3
= 8/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+α-1)(β+β-1)
= αβ+α-1β+β-1α+α-1β-1
= αβ+β/α+α/β+(1/α)(1/β)
= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}$
= $\alpha \beta+\frac{1}{\alpha \beta}+\frac{(\alpha+\beta) 2-2 \alpha \beta}{\alpha \beta}$
= 3+1/3+(4-6)/3
= 8/3
∴ (α+α-1) ও (β+β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(α+α-1+β+β-1)x+(α+α-1)(β+β -1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-8/3x+8/3 = 0
⇒ 3x2-8x+8 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে α+α -1 ও β+β-1 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2 +b(a+c)x+a2+b2+c2-2ac = 0
x. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = α+β-1+1/α+1/β
= $(\alpha+\beta)+\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}$
= 2+2/3
= 8/3
মূলদ্বয়ের গুণফল = (α+β-1)(β+α-1)
= αβ+1+1+α-1β-1
= αβ+2+ 1/(αβ)
= 3+2+1/3
= 16/3
∴ (α+β-1) ও (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(α+β-1+β+α-1)x+(α+β-1)(β+α -1) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-(8/3)x+16/3 = 0
⇒ 3x2-8x+16 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α+β -1) ও (β+α-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, acx2 +b(a+c)x+(a+c)2 = 0
xi. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল
$=\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{\alpha-1+\beta-1}{(\alpha-1)(\beta-1)}$
$=\frac{\alpha+\beta-2}{\alpha \beta-\alpha-\beta+1}$
$=\frac{(\alpha+\beta)-2}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$
= 0
মূলদ্বয়ের গুণফল
$=\frac{1}{\alpha-1} \times \frac{1}{\beta-1}$
$=\frac{1}{\alpha \beta-(\alpha+\beta)+1}$
= 1/(3-2+1)
= 1/2
∴ 1/(α-1) ও 1/(β-1) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
$\mathrm{x}^{2}-\left(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}\right) \mathrm{x}+\left(\frac{1}{\alpha-1}\right)\left(\frac{1}{\beta-1}\right)=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+1/2 = 0
⇒ 2x2+1= 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে $\frac{1}{\alpha-1}$ ও $\frac{1}{\beta-1}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, (a+b+c)x2+(b+2a)x+a = 0
xii. নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = 1/α3 + 1/β3
$=\frac{\alpha^{3}+\beta^{3}}{\alpha^{3} \beta^{3}}$
$=\frac{(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta)}{(\alpha \beta)^{3}}$ [See important formula v]
= (23-3.3.2)/33
= 10/27
মূলদ্বয়ের গুণফল = 1/α3 . 1/β3
= 1/(αβ)3
= 1/27
∴ 1/α3 ও 1/β3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে,
x2-(1/α3 + 1/β3 )x+(1/α3)(1/β 3) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-(10/27)x+1/27 = 0
⇒ 27x2-10x+1 = 0
Short-cut : ax2+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে 1/α3 ও 1/β3 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে, c3x+b(b 2-3ac)x+a3 = 0
5. $\sqrt{-5}-1$ কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি কত? সমীকরণটি নির্ণয় কর ।
সমাধান :
এখানে, একটি মূল $\sqrt{-5}-1=-1+i \sqrt{5} \quad[i=\sqrt{-1}]$
∴ অপর মূল = $-1-i \sqrt{5}$ [See অনুবন্ধী মূল উপপাদ্য]
∴ নির্ণেয় সমীকরণের, মূলদ্বয়ের যোগফল = $-1+\mathrm{i} \sqrt{5}-1-\mathrm{i} \sqrt{5}=-2$
মূলদ্বয়ের গুণফল = $(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})$
= $(-1)^{2}-(\mathrm{i} \sqrt{5})^{2}$ [(a+b)(a-b) = a2-b 2]
= 1-i25
= 1-i2.5
= 1+5 [i2 = -1]
= 6
∴ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^{2}-(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5}) x+(-1+i \sqrt{5})(-1-i \sqrt{5})=0$ [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2+2x+6 = 0
Short-cut : কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল a+ib হলে সমীকরণটি হবে, x 2-2ax+(a2+b2)=0
6. 3x2-2x+k=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে k এর মান কত?
সমাধান :
ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β (যেখানে α>β)
দেওয়া আছে, α-β=1 এখানে, α+β = -(-2/3) = 2/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
এবং αβ = k/3 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
এখন, 4αβ = (α+β)2-(α-β)2 [See Important formulae iii]
⇒ 4αβ = (2/3)2-(1)2
⇒ 4.(k/3) = 4/9-1
⇒ (4/3)k = -5/9
∴ k = -5/9 × 3/4 = -5/12
Short-cut : ax2+bx+c=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অন্তর 1 একক হলে, b 2-a2 = 4ca
এক্ষেত্রে, (-2)2-32 = 4.k.3
⇒ 12k = -5
⇒ k = -5/12
7. px2+qx+q=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত m∶n হলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$ এর মান কত?
সমাধান :
ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β ।
∴ α+β = -q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক i]
∴ αβ = q/p [see দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক ii]
দেওয়া আছে, α/β = m/n
তাহলে, $\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$
⇒ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}$
⇒ $\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}}+\frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{\alpha})^{2}+(\sqrt{\beta})^{2}}{\sqrt{\alpha} \sqrt{\beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha \beta}}+\sqrt{\frac{q}{p}} \quad\left[\because \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}=\sqrt{x y} \&(\sqrt{x})^{2}=x\right]$
$\Rightarrow \frac{-q / p}{\sqrt{q} / p}+\sqrt{\frac{q}{p}}$
$\Rightarrow \frac{-\sqrt{q / p} \times \sqrt{q / p}}{\sqrt{q / p}}+\sqrt{q / p} \quad[\because x=\sqrt{x} \times \sqrt{x}]$
$\Rightarrow-\sqrt{q / p}+\sqrt{q / p}=0$
8. ax2+2x+1 = 0 এবং x2+2x+a = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে a এর মান নির্ণয় কর । (a≠1)
সমাধান :
ধরি, সাধারণ মূল p ।
∵ p উভয় সমীকরণের সাধারণ মূল ∴ p দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে ।
অর্থাৎ, ap2+2p+1=0 …(i)
এবং, p2+2p+a=0 …(ii)
(i) ও (ii) থেকে বজ্রগুণন পদ্ধতির সাহায্যে পাই,
$\frac{p^{2}}{2 a-2}=\frac{p}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$ …(iii) [a1x2+b1x+c1 = 0 ও a 2x2+b2x+c2=0 হলে বজ্রগুণন পদ্ধতি অনুসারে, $\frac{x^{2}}{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}=\frac{x}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}=\frac{1}{a_{1} b_{2}-b_{2} a_{1}}$ ]
(iii) ⇒ = $\frac{\mathrm{p}^{2}}{2 \mathrm{a}-2}=\frac{\mathrm{p}}{1-\mathrm{a}^{2}}$
⇒ p2 = 1
⇒ p = ±1
আবার, (iii)
$\Rightarrow \frac{1}{1-a^{2}}=\frac{1}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-\left(a^{2}-1\right)}{2 a-2}$
$\Rightarrow p=\frac{-(a+1)(a-1)}{2(a-1)}$
$\Rightarrow p=\frac{(a+1)}{2} \ldots(i v)$
P=1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=1$
⇒ -a-1 = 2
⇒ a=1
P = -1 হলে (iv) ⇒ $-\frac{(a+1)}{2}=-1$
⇒ -a-1 = -2
⇒ a = 1
বিকল্প পদ্ধতি :
ধরি, সাধারণ মূল p ।
∴ ap2+2p+1 = 0 …(i) এবং, p2+2p+a = 0 …(ii)
(i) – (ii) ⇒ ap2-p2+1-a = 0
⇒ p2(a-1)-(a-1) = 0
⇒ (p2-1)(a-1) = 0
কিন্তু a≠1⇒ a-1 ≠ 0
∴ p2-1=0 ⇒ p = ±1
p=1 হলে (i) ⇒ a(1)2+2(1)+1=0 ⇒ a = -3
p=-1 হলে (i) ⇒ a(-1)2+2(-1)+1=0 ⇒ a = 1
9. x এর কোন বাস্তব মানের জন্য-
a. x2-6x+45 এর মান ন্যূনতম হবে? ন্যূনতম মান নির্ণয় কর ।
b. 19-x2+6x এর মান বৃহত্তম হবে? বৃহত্তম মান নির্ণয় কর ।
সমাধান :
a. f(x) = x2-6x+45 এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যদি a>0 হয় ।
x = -b/2a এর জন্য f(x) এর ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে যেখানে, ন্যূনতম মান = f(-b/2a)
এক্ষেত্রে, x=-(-b/2a)=3 এর জন্য ন্যূনতম মান পাওয়া যাবে ।
∴ ন্যূনতম মান = f(-b/2a) = f(3) = (3)2-6(3)+45 = 36
b. f(x) = 19-x2+6x এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যদি a<0 হয় ।
x = -b/2a এর জন্য f(x) এর বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে যেখানে বৃহত্তম মান = f(-b/2a)
এক্ষেত্রে, x=-(b/-2a)=3 এর জন্য বৃহত্তম মান পাওয়া যাবে ।
∴ বৃহত্তম মান = f(-b/2a) = f(3) = 19-(3)2+6(3) = 28 →
Calculator techniques : Calculator-এর সাহায্যে দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরণের মূলগুলোর মান নির্ণয় করা যায় । প্রাপ্ত মান প্রশ্নের শর্তানুসারে পরিবর্তিত করে সহজেই নতুন দ্বিঘাত/ ত্রিঘাত সমীকরণ গঠন করা যায় ।
ax2+bx+c=0 আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-
এরপর a,b,c এর মান input করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন ।
ax3+bx2+cx+d আকৃতির সমীকরণ সমাধানের জন্য চাপুন-
Example 4 এর দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য পূর্বোক্ত প্রক্রিয়ায় 2 degree equation mode এ প্রবেশ করে চাপতে হবে-
অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব । মান $1+\sqrt{2} \mathrm{i}$ ও $1-\sqrt{2} \mathrm{i}$ । 
চেপে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ দেখা যায় ।
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :
1. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি? [DU : 1999-2000]
a. 3x2+5x-1=0
b. 3x2-5x+1=0
c. 5x2+x-3=0
d. 5x2-x-3=0
2. x2-4x+4=0 এর বীজদ্বয় α এবং β হলে α3+β3 এর মান কত? [DU : 2000-01]
a. 24
b. 32
c. 16
d. 8
3. x2-5x-3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় x1, x 2 হলে 1/x1, 1/x2 মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কি? [DU : 2001-02]
a. 3x2-5x+1=0
b. 5x2+x-3=0
c. 3x2+5x-1=0
d. 5x2-x-3=0
4. p এর কিরূপ মানের জন্য x2+px+1 = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল হবে? [DU : 2002-03]
a. -2≤p≤2
b. -4<p≤4
c. -2<p<2
d. -4≤p<4
5. 6x2-5x+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে 1/α, 1/β মূল বিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2004-05]
a. x2-5x+6=0
b. 3x2-2x+5=0
c. x2-6x+5=0
d. 5x2+2x-6=0
6. k এর যে মানের জন্য সমীকরণ (k+1)x2+4(k-2)x+2k = 0 এর মূলদ্বয়ের মান সমান হবে তা- [DU : 2004-05]
a. 4
b. 8
c. 2
d. 3
7. x2-2x+3=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে α+β, αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হবে- [DU : 2005-06]
a. x2-5x+6 = 0
b. 3x2-2x+1 = 0
c. x2-3x+2 = 0
d. 2x2-3x+1 = 0
8. x2-3x+5 এর ন্যূনতম মান- [DU : 2006-07]
a. 3
b. 5
c. 15/4
d. 11/4
9. x2-5x-1 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হতে 2 কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হল- [DU : 2007-08]
a. x2+x+7 = 0
b. x2-x-7 = 0
c. x2+x-7 = 0
d. x2-x-7 = 0
10. 5+3x-x2 এর সর্বোচ্চ মান- [DU : 2008-09]
a. 3
b. 11/4
c. 29/4
d. 27/4
11. x2-7x+12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হলে, α+β এবং αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ- [DU : 2009-10]
a. x2-19x+84 = 0
b. x2+14x+144 = 0
c. x2-14x+144 = 0
d. x2+19x-84 = 0
ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্নের সমাধান :
1. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0 [see example 4 (ii)]
⇒ 3x2+5x-1 = 0
∴ ans. a
2. এখানে, α+β=4; αβ=4 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ α3+β3 = (α+β)3-3αβ(α+β)
= 16
∴ ans. c
3. নির্ণেয় সমীকরণ, -3x2-5x+1=0 [see example 4 (ii)]
⇒ 3x2+5x-1 = 0
∴ ans. c
4. মূলদ্বয় জটিল হবে যদি p2- 4 < 0
⇒ p2 < 4 [see example 3 (c)]
⇒ -2<p<2 হয়
∴ ans. c
5. নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6=0
∴ ans.a
6. মূলদ্বয় সমান হবে যদি {4(k-2)}2-4.(k+1).2k=0 হয় [See example 3(a)]
⇒ 16(k-2)2 = 8k(k+1)
⇒ 2(k2-4k+4) = k2+k
⇒ 2k2-8k+8 = k2+k
⇒ k2-9k+8 = 0
⇒ k = 1 or, 8 [use calculator/manually factorize through middle term process]
∴ ans.b
7. α+β = 2; αβ = 3; ∴ α+β+αβ = 5 &, (α+β)(αβ) = 6 [see example 4 (iv)]
∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x2-5x+6 = 0
∴ ans.a
8. –b/2a = 3/2
∴ f(3/2) = (3/2)2-3(3/2)+5 [see example 9]
= 11/4
∴ ans.d
10. α+β = 5; αβ = -1 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ (α-2)(β-2) = αβ-2(α+β)+4 = -7
∴ α-2+β-2 = 1
∴ x2-(α-2+β-2)x+(α-2)(β-2) = 0 [see দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন]
⇒ x2-x-7 = 0
∴ ans.d
10. –b/2a = 3/2
∴ f(3/2) = 5+3(3/2)-(3/2)2 = 29/4 [see example 9]
∴ ans.c
11. α+β = 7; αβ = 12 [See দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক]
∴ α+β+αβ = 19; ∴ (α+β)(αβ) = 84
∴ x2-(α+β+αβ)x+(α+β)(αβ) = 0 [see example 4 (iv)]
⇒ x2-19x+84 = 0
∴ ans.a