ভেক্টর

 

     সমীকরণ               

প্রতীক পরিচিতি

একক

১.ভেক্টরের স্কলার বা ডট গুণন :
(ⅰ)
(ⅱ)

 দুটি ভেক্টর

 

θ = এদের মধ্যবর্তী কোণ

 

২.ক্রস গুণন :

1.

2.

3.

 

Ax, Ay, Az যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর  উপাংশ
Bx, By, Bz যথাক্রমে X,Y,Z অক্ষ বরাবর এর  উপাংশ

 

৩.একক ভেক্টর

 একটি একক ভেক্টর যা ক্রস গুণফলের দিক নির্দেশ করে
 এর মান

 

৪.ভেক্টর যোজন (সামান্তরিকের সূত্র :)

1.

2. 

 

 

 ও  এর মধ্যবর্তী কোণ

 

 লব্ধি

 

 এর মধ্যবর্তী কোণ

 

৫.ভেক্টরের মান :

 

 

৬.ভেক্টর বিভাজন যে কোনো দুই দিকে:

ভেক্টর বিভাজন (পরস্পর লম্ব দুই দিকে)

 

 এর মধ্যবর্তী কোণ

 

৭.  –এর পারস্পারিক ডট গুণফল :
 

 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

৮.এর পারস্পরিক ভেক্টর গুণফল :



 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

 

৯.অবস্থান ভেক্টর
 

 

 = অবস্থান ভেক্টর
r =  অবস্থান ভেক্টরের মান
x ,y, z = r এর স্থানাঙ্ক

 

১০.লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় :
(ⅰ)  এর উপর  এর লম্ব অভিক্ষেপ
(ⅱ)  এর উপর  এর লম্ব অভিক্ষেপ

 

 

১১.  এবং
 হলে,

 

 

 

i = X অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
j = Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর
k = Z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর

 

১২. সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

যেখানে  ও  সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়  

 

১৩.রম্বসের ক্ষেত্রফল

যেখানে রম্বসের কর্ণদ্বয়  ও

 

১৪.(ⅰ)  এবং  পরস্পর সমান্তরাল হবে,যদি  হয় ।
(ⅱ)  এবং  পরস্পর লম্ব হবে,যদি  হয় ।

 

 

 

 

গাণিতিক সমস্যার উদহারণ

 

১. 6 একক  ও 4 একক  মানের দুইটি ভেক্টর একটি বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । এর ভূমির সাথে যথাক্রমে 30° ও 60° কোণ করে। এদের লব্ধির আনুভূমিক ও উলম্ব উপাংশের মান কত?

সমাধান :

⇒ লব্ধির আনুভূমিক উপাংশের মান = 6 cos30° + 4 cos60°
                                                = (3√3+2)                     [ans.]

লব্ধির উলম্ব উপাংশের মান = 6 sin30° + 4 sin60°
= (3+2√3)                                 [ans.]

 

২. একটি গাড়ি 20ms-1 বেগে চলা অবস্থায় বৃষ্টি লম্বভাবে 15ms-1 বেগে পড়ছে। আনুভূমিকের সাথে কত কোণে বৃষ্টি গাড়ির কাঁচে পড়বে?

সমাধান :

tanθ = VR/VC = 15/20                                       VR = 15ms-1
∴ θ = 36°52′                 [ans.]                         VC = 20ms-1

 

৩. A̅ = 4î+5ĵ-7k̂  , B̅ = 3î+6ĵ-2k̂      

        
(i) A̅ + B̅ = ?
(ii) A̅ - B̅ = ?

সমাধান :

A̅ + B̅ = 7î + 11ĵ - 9k̂    [ans.]
A̅ - B̅ = î + ĵ - 5k̂                      [ans.]

 

৪. A̅ = 3î-4ĵ+2k̂  , B̅ = 6î+2ĵ-3k̂     

(i) A̅ . B̅ = ?
(ii) A̅ × B̅   = ?

সমাধান :

A̅ . B̅ = (3î-4ĵ+2k̂) (6î+2ĵ-3k̂ )
= 18-8-6
∴ A̅ × B̅    = 4                           [ans.]

 

= î (12-4) – ĵ (-9-12) + k̂ (6+24)
= 8î + 21ĵ + 30k̂               [ans.]

 

৫. P̅ = 2î + ĵ - 3k̂   ;  Q̅ = 3î + 2ĵ - k̂ ;  ও  এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

সমাধান :

⇒ P̅.Q̅ = PQ cosθ
⇒ (2î + ĵ - 3k̂)(3î + 2ĵ - k̂) =  cosθ
⇒ 6-2-3 = √(4+1+9).√(9+4+1) cosθ
⇒ 1 = √14.√14 cosθ
⇒ θ = cos-1(1/14)
∴ θ = 86°                      [ans.]

 

৬. P̅ = 3î - 2ĵ + k̂ ; Q̅ = 4î + mĵ - 6k̂, m-এর মান কত হলে P̅ ও Q̅ পরস্পর লম্ব হবে?

সমাধান :

⇒ P̅. Q̅ = PQ cosθ
⇒ cosθ = ( P̅. Q̅)/(PQ)

⇒ cosθ =

⇒ 0 =
⇒ 12-2m-6 = 0
⇒ 2m = 6
∴ m = 3     

                   [ans.]

৭. A̅ = 2î - ĵ + k̂  , B̅ = î + 2ĵ + 2k̂; B̅ বরাবর এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় কর।

সমাধান :

: B̅ বরাবর A̅ এর লম্ব অভিক্ষেপ-
A cosθ = (A̅ . B̅ ) / B = (2î - ĵ + k̂ ) (î + 2ĵ + 2k̂) / √ (12+22+22)
= (2-2+2)/√9
= 2/3                [ans.]

 

৮. F̅ = î - 2ĵ - k̂ ; S̅ = 5î - 8ĵ + 3k̂  ; F̅  বল এবং S̅  সরণ হলে F̅  বলের ক্রিয়ায় কৃত কাজের পরিমাণ বের কর।

সমাধান :

W = F̅.S̅ = (î - 2ĵ - k̂) (5î - 8ĵ + 3k̂)
= 5+16-3
∴ W = 18 একক                          [ans.]

 

 

Twitter icon
Facebook icon
Google icon
StumbleUpon icon
Del.icio.us icon
Digg icon
LinkedIn icon
MySpace icon
Newsvine icon
Pinterest icon
Reddit icon
Technorati icon
Yahoo! icon
e-mail icon